Моделирование работы двух кассиров в банке

Метод статистического моделирования первоначально развивался как метод статистических испытаний (Монте-Карло). Это - численный метод, состоящий в получении оценок вероятностных характеристик, совпадающих с решением аналитических задач (например, с решением уравнений и вычислением определенного интеграла). В последствии этот метод стал применяться для имитации процессов, происходящих в системах,

внутри которых есть источник случайности или которые подвержены случайным воздействиям. Он получил название метода статистического моделирования.

Комбинированный метод (аналитико-статистический) позволяет объединить достоинства аналитического и статистического методов моделирования. Он применяется в случае разработки модели, состоящей из различных модулей, представляющих набор как статистических, так и аналитических моделей, которые взаимодействуют как единое целое. Причем в набор модулей могут входить не только модули соответствующие динамическим моделям, но и модули соответствующие статическим математическим моделям.

В математических моделях сложных объектов, представленных в виде систем массового обслуживания (СМО), фигурируют средства обслуживания, называемые обслуживающими аппаратами (ОА) или каналами, и обслуживаемые заявки, называемые транзактами.

Состояние СМО характеризуется состояниями ОА, транзактов и очередей к ОА. Состояние ОА описывается двоичной переменной, которая может принимать значения «занят» или «свободен». Переменная, характеризующая состояние транзакта, может иметь значения «обслуживания» или «ожидания». Состояние очереди характеризуется количеством находящихся в ней транзактов.

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени. Важной характеристикой потока событий является его интенсивность Я— среднее число событий, приходящееся на единицу времени. Интенсивность потока может быть как постоянной {Л = const), так и переменной, зависящей от времени t. Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные, равные промежутки времени. На практике чаще встречаются потоки нерегулярные, со случайными интервалами.

Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся интервалов времени tx и t2 число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой. Это означает, что заявки попадают в систему независимо друг от друга.

Поток событий называется ординарным, если события в нем появляются поодиночке, а не группами по нескольку сразу. Если поток событий ординарен, то вероятностью попадания на малый интервал времени t двух или более событий можно пренебречь.

Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он обладает сразу тремя свойствами: стационарен, ординарен и не имеет последействия. Название «простейший» связано с тем, что процессы, связанные с простейшими потоками, имеют наиболее простое математическое описание. Самый простой, на первый взгляд, регулярный поток не является «простейшим», так как обладает последействием: моменты появления событий в таком потоке связаны жесткой функциональной зависимостью.

СМО могут быть одноканальными и многоканальными.

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем; состояние СМО меняется скачком в моменты появления каких-то событий (прихода новой заявки, окончания обслуживания, момента, когда заявка, которой «надоело ждать», покидает очередь).

Предмет теории массового обслуживания - построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, правила работы, характер потока заявок) с интересующими нас характеристиками - показателями эффективности СМО, описывающими, с той или другой точки зрения, ее способность справляться с потоком заявок. В качестве таких показателей (в зависимости от обстановки и целей исследования) могут применяться разные величины, например: среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени; среднее число занятых каналов; среднее число заявок в очереди и среднее время ожидания обслуживания; вероятность того, что число заявок в очереди превысит какое-то значение, простои, и т. д.

Системы массового обслуживания делятся на типы (или классы) по ряду признаков. Первое деление: СМО с отказами и СМО с очередью. В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует. В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной. На практике чаще встречаются (и имеют большее значение) СМО с очередью. СМО с очередью подразделяются на разные виды, в зависимости от того, как организована очередь - ограничена она или не ограничена. Ограничения могут касаться как длины очереди, так и времени ожидания (так называемые «СМО с нетерпеливыми заявками»). При анализе СМО должна учитываться также и «дисциплина обслуживания» - заявки могут обслуживаться либо в порядке поступления (раньше пришла, раньше обслуживается), либо в случайном порядке. Величина, характеризующее право на первоочередное обслуживание, называется приоритетом. При освобождении канала на обслуживание принимается заявка из непустой очереди с наиболее высоким приоритетом. Существуют СМО с так называемым многофазовым обслуживанием, состоящим из нескольких последовательных этапов или «фаз».

Кроме этих признаков, СМО делятся на два класса: «открытые» и «замкнутые». В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии находится сама СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО - зависят.

Логико-математическое описание модели

Модель работает по следующим правилам.

Все величины могут быть только целыми неотрицательными числами. Время обслуживания каждым кассиром одного клиента должно быть > 0. Кассир может принимать состояние «свободен» («0») или «занят» («1»). Состояние очереди, длина рабочего дня, максимальный поток людей в единицу времени {max enter) и количество обслуженных клиентов может быть > 0.

Значения входных параметров задаются перед началом работы модели.

В начальный момент времени кассиры свободны, очереди и количество обслуженных клиентов = 0.

Распределение потока людей происходит по правилу выравнивания очереди, т.е. каждый из вошедших оценивает длину обеих очередей и встает в ту, которая короче. В случае равных очередей предпочтение отдается первому кассиру.

Далее во время каждого такта (от единицы до длины рабочего дня) с помощью функции random, имеющей равномерное распределение, получаем случайное число вошедших людей от 0 до maxenter и происходит распределение их в очереди по правилу, указанному вьппе. Далее для каждого кассира проверяются условия, если он свободен, есть очередь и кассир успевает обслужить еще хотя бы одного клиента, то очередь становится на единицу меньше, кассир принимает состояние «занят» на время, которое необходимо ему, чтобы обслужить клиента, а количество обслуженных им людей становится больше на единицу. Если хотя бы одно из условий не выполняется, состояние модели на этом такте остается неизменным.

 Скачать реферат