Математическое моделирование и расчет систем управления техническими объектами

Статистические методы непараметрической идентификации позволяют оценить ординаты функции веса w(t) путем обработки данных вход-выход объекта в виде случайных сигналов, возможных в режиме нормальной эксплуатации (корреляционный анализ).

Существуют методы построения временных характеристик по частотным, базирующиеся на обратном преобразовании Фурье. В случае, когда исходная информация об объе

кте представлена в форме дифференциального уравнения (1), временные характеристики получают его решением.

В классической теории автоматического управления для решения дифференциальных уравнений часто привлекают так называемый операторный метод, связанный с преобразованием Лапласа. Метод особенно удобен в случае типовых воздействий в виде обобщенных функций и позволяет легко учесть ненулевые начальные условия.

Пусть дано дифференциальное уравнение n-порядка звена или системы автоматического управления (2). Необходимо получить выражения для импульсной переходной функции (функции веса) w(t), переходной характеристики h(t), а также для реакции в случае воздействия общего вида. Пусть изображение по Лапласу воздействия на входе системы или звена представляет собой дробно-рациональную функцию от s:

.

Если преобразовать по Лапласу дифференциальное уравнение n-го порядка при ненулевых предначальных условиях, то после разрешения полученного алгебраического уравнения относительно изображения переменной выхода имеем

. (7)

Здесь полином AH(s) определяется предначальными условиями. Если все предначальные условия нулевые, то изображение выхода

где W(s) – передаточная функция.

Искомое решение – переменная на выходе системы (оригинал) получается обратным преобразованием Лапласа:

(8)

где с – абсцисса сходимости.

Формула обращения Римана – Меллина устанавливает однозначное соответствие между оригиналом и изображением в точках непрерывности оригинала. Имеются алгоритмы и программы, позволяющие вычислять интеграл (8) при произвольных функциях Y(s). Практическое вычисление оригинала у(t) удобно производить, основываясь на теореме о вычетах, согласно которой значение интеграла (8) может быть представлено суммой вычетов подынтегральной функции,

,

где ResY(s) – вычет функции Y(s) в полюсе si; i = 1, .,nY; nY – число полюсов изображения Y(s); при t < 0 функция у(t) = 0.

Для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и типовых воздействий изображение Y(s) является дробно-рациональной функцией, которую можно представить в виде суммы простейших дробей:

, (9)

где – производная полинома AY по s; si – простые полюсы;

Оригинал y(t) в соответствии с разложением (9) имеет вид:

.

Импульсная переходная функция (функция веса) w(t) представляет собой реакцию системы на -функцию при нулевых начальных условиях. Поскольку изображение -функции , то функция веса представляет собой обращение по Лапласу передаточной функции и.

Разложение передаточной функции на сумму простейших дробей в случае простых полюсов si; i = 1, …, n имеет вид:

, (10)

где Ci – коэффициент разложения (вычета),

. (11)

Пример. Рассмотрим определение функции веса с помощью формул (10) и (11) для передаточной функции

. (12)

Полюсы передаточной функции s1 = -1; s2 = -2. Разложение (12) на сумму простейших дробей имеет вид:

.

Обратное преобразование Лапласа дает

.

Переходная характеристика h(t) представляет собой реакцию системы на единичную ступенчатую функцию I(t) при нулевых начальных условиях. Поскольку , то .

Полюсами изображения являются полюс воздействия s1 = 0 и полюсы передаточной функции. Легко убедится, что

, .

Пример. Рассмотрим получение переходной характеристики системы с передаточной функцией (12). Разложение изображения H(s) на сумму простейших дробей:

,

где

;

;

.

Следовательно, переходная характеристика описывается функцией

.

В общем случае произвольного воздействия разложение изображения переменной выхода (7) запишется так:

, (13)

где si, i = 1, …, n – полюсы передаточной функции W(s); sk, k = 1, …, nF – полюсы изображения воздействия F(s); принято, что , т. е. полюсы воздействия не равны полюсам передаточной функции (нет обобщенного резонанса).

В выражении (13) первая группа слагаемых определяет переходную составляющую вынужденного движения yпер(t); вторая группа – установившаяся составляющая вынужденного движения yуст(t), третья – свободные движения yсв(t):

.

Установившееся вынужденное движение yуст(t) обусловлено полюсами изображения воздействия sk; переходная составляющая вынужденного движения yпер(t) образуется из-за ненулевых посленачальных условий (изменение начальных условий приложением в момент времени t = 0 конкретного воздействия) и определяется полюсами передаточной функции; свободные движения yсв(t) имеют место при ненулевых предначальных условиях и также определяются полюсами передаточной функции.

Если анализируется автономная система автоматического управления Ms, представленная в форме однородного дифференциального уравнения

 Скачать реферат