Математическое моделирование и расчет систем управления техническими объектами

передаточная функция:

(54)

амплитудно-фазовая характеристика (рис.15, б):

c="images/referats/11786/image163.png">(55)

Иногда применяется другая форма записи уравнения интегрирующего звена:

(56)

Примером интегрирующего звена является емкость с притоком жидкости сверху, причем расход на стоке не зависит от уровня в емкости (рис.16). Такая емкость не обладает самовыравниванием на притоке. Интегрирующее звено называется астатическим.

Уравнение дифференцирующего звена:

(57)

переходная функция:

; (58)

передаточная функция:

; (59)

амплитудно-фазовая характеристика:

, (60)

т.е. она совпадает с положительной мнимой полуосью.

Характеристики дифференцирующего звена обратны характеристикам интегрирующего звена. Идеальных дифференцирующих звеньев в природе не существует, но они используются при анализе сложных систем, из которых можно выделить дифференцирующие звенья.

Звено с запаздыванием без искажения воспроизводит на выходе входную величину, задерживая ее на время запаздывания t.

Уравнение такого звена имеет вид:

; (61)

передаточная функция:

; (62)

амплитудно-фазовая характеристика:

. (63)

Примерами таких звеньев являются транспортеры (рис.17), длинные трубопроводы и т.д. Если известны расстояние l и скорость движения ленты транспортера v, то запаздывание можно определить по формуле

. (64)

2.8 Характеристики систем с типовой структурой

Системы с типовой структурой образуются последовательным (рис.18, a), параллельным (рис.18, б) соединениями звеньев или соединением с обратной связью (рис.18, в). Выявление свойств типовых систем в целом связано с построением эквивалентных систем со свернутой структурой (рис.18, г). Эквивалентные системы в терминах вход-выход могут быть представлены в форме дифференциального уравнения

Aэ(р)у(t) = Вэ(р)f(t), (65)

передаточная функция

временная характеристика:

;

частотная характеристика

Дифференциальные уравнения системы, образованной последовательным соединением звеньев, запишутся так:

A1(p)x1(t) = B1(p)f(t);

A2(p)x2(t) = B2(p)x1(t);

y(t) = x2(t).

В результате исключения переменных х1 и х2 получим операторные полиномы уравнения (65):

Аэ(р) = А1(р)А2(р); Вэ(р) = В1(р)В2(р).

Одновременно получаем передаточную функцию эквивалентного звена:

Wэ(s) =W1(s)W2(s). (66)

Временную характеристику – импульсную переходную функцию получаем обратным преобразованием Лапласа передаточной функции (66):

wэ(t) =.

Амплитудная частотная характеристика равна произведению соответствующих характеристик последовательно соединенных звеньев:

Rэ(w) = R1(w)R2(w),

фазочастотная характеристика равна сумме

jэ (w) = j1(w) + j2(w),

ЛАЧХ системы получается в виде суммы

Lэ(w) = L1(w) + L2(w).

На рис.19 изображен пример графического построения ЛАЧХ системы, образованной последовательным соединением интегрирующего звена W1 и апериодического звена первого порядка W2.

Дифференциальные уравнения системы, образованной параллельным соединением звеньев (см. рис.18, б), запишутся так:

А1(p)x1(t) = В1(p)f);

А2(p)x2(t) = В2(p)f(t);

y(t) = x1(t) + x2(t).

В результате исключения переменных xi получим операторные полиномы эквивалентного уравнения (65):

Аэ(p) = А1(p) А2(р);

Вэ(p) = В1(p)А2(p) + А1(р)В2(р).

Передаточная функция эквивалентного звена получается как сумма передаточных функций звеньев:

Wэ(s) = W1(s) + W2(s). (67)

Временная характеристика системы является суммой временных характеристик звеньев:

wэ(t) = w1(t)w2(t).

При параллельном соединении звеньев легко получить вещественную Рэ(w) и мнимую Qэ(w) частотные характеристики эквивалентного звена:

Рэ(w) = Р1(w) + Р2(w); Qэ(w) = Q1(w) + Q2(w).

Диполь передаточной функции Wэ(s) получается:

· если одна из передаточных функций звеньев имеет диполь;

· звенья имеют одинаковые полюсы А1(si) = A2(si) = 0.

Дифференциальные уравнения типового соединения с обратной связью:

А1(p)x1(t) = В1(p)x3(t);

А2(p)x2(t) = В2(p) x1(t);

x3(t) = f(t) x2(t);

y(t) = x1(t),

где знак «минус» соответствует отрицательной обратной связи, а знак «плюс» – положительной.

Исключение внутренних переменных дает операторные полиномы дифференциального уравнения эквивалентного звена:

Аэ(p) = А1(p)А2(р) B1(p)B2(р);

Вэ(p) = В1(p)А2(p). (68)

Передаточная функция эквивалентного звена:

Wэ(s) = . (69)

Если звенья образуют контур положительной обратной связи, то в формулах (69), (69) используется знак «минус».

 Скачать реферат