Алгоритм решения Диофантовых уравнений

р)

После упрощения.

При m=2, 3 значения троек будут

При рассмотрении вопроса о Пифагоровых тройках не было целью составление таблиц этих троек. Ибо целью этой статьи является показ возможностей алгоритма решения Диофантовых уравнений.

Решение уравнения Каталана

Уравнение данного вида получается при попытке решения гипотезы Биля. Поэтому решение данного уравнения является как бы леммой гипотезы Биля. Ответ будет дан лишь в качественной оценке. Количественный анализ принципиально не труден, но нуден.

Рассмотрим 2 варианта:

- I А - чётное число, В - нечётное число;

- II А - нечётное число, В - чётное число.

Каждый из вариантов распадается опять же на два случая:

А > В, Х < У;

А < В, Х > У.

И требуется перебрать комбинации Х, У – чётные - нечётные числа.

Итого 16 вариантов. Плюс варианты гипотезы Биля.

И если всё это обилие решать количественно, - это уже приличная работа для издания отдельной брошюры, а не публикации в формате статьи.

Вариант I.

1. А > В, Х < У Х – чётное число, У – чётное число.

Основания и показатели расписываю за один заход.

, где конечно же 1>2, а 1 < 2.

Вначале разбираемся с показателями

На второй стадии пройдусь по основаниям

Равенство левой и правой части уравнения невозможно.

Тогда и исходное уравнение решений не имеет.

2. А > В, Х < У Х – нечётное число, У – нечётное число.

Во всех решениях вначале степень, затем основание

Решим полученное условие относительно А и В.

После подстановки А=В+1.

Т.е., чтобы уравнение Ах-Ву=1 существовало при заданных условиях д.б. А=В+1.

3. А > В, Х < У Х – чётное число, У – нечётное число.

После преобразований

Далее вывод, как и в примере (1).

4. А > В, Х < У Х – нечётное число, У – чётное число.

Результат, как и в примере (2).

5. А < В, Х > У Х – чётное число, У – чётное число.

Нет решения, ибо это формула разности квадратов.

6. А < В, Х > У Х – нечётное число, У – нечётное число.

Решение у такой формулы возможно.

7. А < В, Х > У Х – чётное число, У – нечётное число.

Противоречий для существования данной формулы нет.

8. А < В, Х > У Х – нечётное число, У – чётное число.

И окончательно.

Запрета на существование такого уравнения не вижу, но дальнейший анализ не в этой статье.

Вариант II.

9. А > В, Х < У Х – чётное число, У – чётное число.

Уравнение разности квадратов - тогда решений не существует.

10. А > В, Х < У Х – нечётное число, У – нечётное число.

Уравнение реальное - тогда решение есть.

11. А > В, Х < У Х – чётное число, У – нечётное число.

Уравнение реальное.

Пример: 32-23=1

12. А > В, Х < У Х – нечётное число, У – чётное число.

Решение существует.

13. А < В, Х > У Х – чётное число, У – чётное число.

 Скачать реферат