Алгоритм решения Диофантовых уравнений

где ; .

Окончательно, после подстановки будет

, где n = 3, 15 . . . . .

Проверим при n = 3

а) , =29 src="images/referats/11815/image030.png">

б) ,

Подставим (а) в уравнение (1)

Для случая Х = 2, У = 1, n = 3 будет

Подставим (б) в уравнение (1)

Для

Проверка даёт

Для

Проверка даёт

Составим последующее функциональное уравнение.

После упрощения

где ,

После подстановки

Следующее функциональное уравнение примет вид

После упрощения

где ,

После подстановки

Получилась система бесконечных решений:

(3)

Вариант II.

Функциональное уравнение примет вид.

После преобразований будет

, где n чётные числа n = 8, 24 ……

Само же выражение идентично формуле (2).

Система бесконечных решений примет вид системы (3).

Тогда система решений (3) будет общей для вариантов I и II при n – чётных и нечётных числах.

Вариант III.

Также напишем функциональное уравнение.

Опускаю все вычисления, - напишу окончательный результат:

На решении данного уравнения Пелля подтверждено следующее утверждение из доказательства ВТФ:

Или все формулы системы функциональных уравнений имеют решения, или же в системе уравнений нет ни одной такой формулы.

Мне не приходилось встречать классического решения этого уравнения, - для меня это чистый экспромт. Специалисты могут сравнить.

Вообще же, этим методом решается любое уравнение вида:

,

а уравнение Пелля лишь как частный случай, при t = 2 и N = 1.

Уравнение

. (1)

(У2=Х3-Х, У2=Х3-Х+1, У2=Х3+аХ+В)

Рассмотрим 4 варианта:

- I У - нечётное число, Х - нечётное число, К - чётное число;

- II У - нечётное число, Х - чётное число, К - нечётное число;

- III У - чётное число, Х - чётное число, К - чётное число;

- IV У - чётное число, Х - нечётное число, К - нечётное число.

Решение этого уравнения принципиально ни чем не отличается от решения уравнения Пелля, - в обоих уравнениях наличие двух переменных.

Вариант I.

Во всех четырёх вариантах У>Х, и следовательно 1>2

Тогда будет

(2)

Получилась система уравнений (1) и (2).

Хотя и без решения системы часть решений уже можно определить.

Рассмотрим частный случай уравнения (2) при m=1.

,при m≥1.

Т.к. K чётное число, тогда K=8, 24, 48, 80, 120, 168, 224, 288, 360 ….

Получится возрастающий ряд K.

Этому ряду K соответствует ряд разностей:

У-Х=2, 4, 6, 8, 10, 12 …. при положительных значениях радикала и

У-Х=-4, -6, -8, -10, -12 …. при отрицательных значениях радикала.

Рассмотрим четыре примера, взяв соответственно:

1) У-Х=2 K=8

2) У-Х=4 K=24

3) У-Х=6 K=48

4) У-Х=8 K=80

 Скачать реферат