Основы дискретной математики

Сортировка данных – обработка информации, в результате которой элементы её (записи) располагаются в определённой последовательности в зависимости от значения некоторых признаков элементов, называемых ключевыми.

Наиболее распространёнными видами сортировки данных являются упорядочение массива записей – расположение записей сортируемого массива данных в порядке монотонного изменения значения

ключевого признака. Сортировка данных позволяет сократить в десятки раз продолжительность решения задач, связанных с обработкой больших массивов записей. Такое ускорение происходит за счёт сокращения времени поиска записей с определёнными значениями ключевых признаков. Упорядочение осуществляется в процессе многократного просмотра исходного массива.

Одними из важнейших процедур обработки структурированной информации являются сортировка и поиск. Сортировкой также называют процесс перегруппировки заданной последовательности (кортежа) объектов в некотором определенном порядке. Определенный порядок (например, упорядочение в алфавитном порядке, по возрастанию или убыванию количественных характеристик, по классам, типам и т. п.) в последовательности объектов необходим для удобства работы с этими объектами. В частности, одной из целей сортировки является облегчение последующего поиска элементов в отсортированном множестве. Под поиском подразумевается процесс нахождения в заданном множестве объекта, обладающего свойствами или качествами задаваемого априори эталона (или шаблона).

Например, требуется решить задачу: даны целые числа x, a1, a2, …, an (n>0). Определить, каким по счёту идёт в последовательности a1, a2, …, an член, равный x. Если такого члена нет, то предусмотреть соответствующее сообщение.

В этом примере мы сталкиваемся с задачей поиска. «Одно из наиболее часто встречающихся в программировании действий – поиск. Он же представляет собой идеальную задачу, на которой можно испытывать различные структуры данных…» – пишет Н. Вирт [14]. Теория поиска – важный раздел теории информации.

Очевидно, что с отсортированными (упорядоченными) данными работать намного легче, чем с произвольно расположенными. Упорядоченные данные позволяют эффективно их обновлять, исключать, искать нужный элемент и т. п. Достаточно представить, например, словари, справочники, списки кадров в неотсортированном виде и сразу становится ясным, что поиск нужной информации является труднейшим делом.

1.2 Методы, используемые при поиске и сортировке

1.2.1 Основные понятия

Существуют различные алгоритмы сортировки данных. И понятно, что не существует универсального, наилучшего во всех отношениях алгоритма сортировки. Эффективность алгоритма зависит от множества факторов, среди которых можно выделить основные:

– числа сортируемых элементов;

– степени начальной отсортированности (диапазона и распределения значений сортируемых элементов);

– необходимости исключения или добавления элементов;

– доступа к сортируемым элементам (прямого или последовательного). Принципиальным для выбора метода сортировки является последний фактор [16].

Если данные могут быть расположены в оперативной памяти, то к любому элементу возможен прямой доступ. Удобной структурой данных в этом случае выступает массив сортируемых элементов. Если данные размещены на внешнем носителе в файле последовательного доступа, то к ним можно обращаться последовательно. В качестве структуры подобных данных можно взять файловый тип [9].

В этой связи выделяют сортировку двух классов объектов: массивов (внутренняя сортировка) и файлов (внешняя сортировка).

Процедура сортировки предполагает, что при наличии некоторой упорядочивающей функции F расположение элементов исходного множества меняется таким образом, что

,

где знак неравенства понимается в смысле того порядка, который установлен в сортируемом множестве.

Поиск и сортировка являются классическими задачами теории обработки данных, решают эти задачи с помощью множества различных алгоритмов. Рассмотрим наиболее популярные из них.

1.2.2 Поиск

Для определенности примем, что множество, в котором осуществляется поиск, задано как массив:

var a: array [0 N] of item;

где item – заданный структурированный тип данных, обладающий хотя бы одним полем (ключом), по которому необходимо проводить поиск.

Результатом поиска, как правило, служит элемент массива, равный эталону, или отсутствие такового.

Важно знать и про ассоциативную память. Это можно понимать как деление памяти на порции (называемые записями), и с каждой записью ассоциируется ключ. Ключ – это значение из некоторого вполне упорядоченного множества, а записи могут иметь произвольную природу и различные параметры. Доступ к данным осуществляется по значению ключа, которое обычно выбирается простым, компактным и удобным для работы.

Дерево сортировки – бинарное дерево, каждый узел которого содержит ключ и обладает следующим свойством: значения ключа во всех узлах левого поддерева меньше, а во всех узлах правого поддерева больше, чем значение ключа в узле.

Таблица расстановки.

Поиск, вставка и удаление, как известно, – основные операции при работе с данными [16]. Мы начнем с исследования того, как эти операции реализуются над самыми известными объектами – массивами и (связанными) списками.

Массивы

На рисунке 1.1 показан массив из семи элементов с числовыми значениями. Чтобы найти в нем нужное нам число, мы можем использовать линейный поиск (процедура представлена на псевдокоде, подобном языку Паскаль):

int function SequentialSearch (Array A, int Lb, int Ub, int Key);

begin

for i = Lb to Ub do

if A (i) = Key then

return i;

return –1;

end;

Максимальное число сравнений при таком поиске – 7; оно достигается в случае, когда нужное нам значение находится в элементе A[6]. Различают поиск в упорядоченном и неупорядоченном массивах. В неупорядоченном массиве, если нет никакой дополнительной информации об элементе поиска, его выполняют с помощью последовательного просмотра всего массива и называют линейным поиском. Рассмотрим программу, реализующую линейный поиск. Очевидно, что в любом случае существуют два условия окончания поиска: 1) элемент найден; 2) весь массив просмотрен, и элемент не найден. Приходим к программе:

While (a[i]<>x) and (i<n) do Inc(i);

If a[i]<>x then Write (‘Заданного элемента нет’)

Если известно, что данные отсортированы, можно применить двоичный поиск:

int function BinarySearch (Array A, int Lb, int Ub, int Key);

begin

do forever

M = (Lb + Ub)/2;

if (Key < A[M]) then

Ub = M – 1;

else if (Key > A[M]) then

Lb = M + 1;

else

return M;

if (Lb > Ub) then

return –1;

end;

Переменные Lb и Ub содержат, соответственно, верхнюю и нижнюю границы отрезка массива, где находится нужный нам элемент. Мы начинаем всегда с исследования среднего элемента отрезка. Если искомое значение меньше среднего элемента, мы переходим к поиску в верхней половине отрезка, где все элементы меньше только что проверенного. Другими словами, значением Ub становится равным (M – 1) и на следующей итерации мы работаем с половиной массива. Таким образом, в результате каждой проверки мы вдвое сужаем область поиска. Так, в нашем примере, после первой итерации область поиска – всего лишь три элемента, после второй остается всего лишь один элемент. Таким образом, если длина массива равна 6, нам достаточно трех итераций, чтобы найти нужное число.

 Скачать реферат