Пространство товаров. Цены

Рефераты / Экономико-математическое моделирование / Пространство товаров. Цены

С обыденной точки зрения каждый товар должен быть желателен для участников экономики и должен обладать определенной потребительской полезностью. Это свойство товаров выражается в некоторой мере через цены на них.

Пусть вектор цен есть Р. Зафиксируем какую-нибудь денежную сумму Q и назовем ее доходом.

Множество наборов товаров стоимости не более Q при данных ценах Р называется бюджетным

множеством В; множество наборов товаров стоимости ровно Q называется границей G этого бюджетного множества.

Бюджетное множество и его граница зависят от цен и дохода, так что точнее их было бы обозначать В(Р, Q) и G(P, Q).

Бюджетное множество и его границу можно определить так:

с помощью обычных неравенств и равенств —

В(Р, Q) = {(x1, ., хn): х1 …, хn ≥ 0, p1x1 + . + pnxn ≤Q)

G(P, Q) = {(x1, ., хn): х1 …, хn ≥ 0, p1x1 + . + pnxn = Q);

с помощью векторных неравенств и равенств —

В(Р, Q) = {Х:Х> О, РХ< 0 , G{P, Q) = {Х:Х> О, РХ= Q).

Для случая двух товаров см. рис. 1.

При Р = (2, 3) и Q = 30 бюджетное множество В(Р, Q) есть треугольник ОАВ, точка A имеет координату Q/p1 = 15, точка В — Q/p2 = 30. Отрезок АВ есть граница бюджетного множества, отрезок АВ перпендикулярен вектору цен. При увеличении Q граница бюджетного множества движется в направлении вектора цен. При изменении цен об изменении бюджетного множества можно судить по движению точек А(р1) = Q/p1, B(p2) = Q/p2.

Бюджетное множество выпукло, ограниченно и замкнуто.

Граница бюджетного множества также есть выпуклое, ограниченное и замкнутое множество.

4. Пространство товаров и система предпочтений

Одним из основных элементов — участников экономики — является домашнее хозяйство, определяемое как некоторая группа индивидуумов, выступающая как единое целое, распределяющая свой доход на покупку и потребление товаров и услуг. В общем, участник экономики, рассматриваемый с этой точки зрения, называется потребителем. Проблема рационального поведения потребителя заключается в решении вопроса о том, какие количества товаров или услуг он хочет и может приобрести при заданных ценах и его доходе.

Специально отметим, что существуют разные точки зрения на роль индивидов-потребителей. В неоклассической экономической теории эта роль является основной, определяющей. Вся остальная экономика вырастает из желаний и потребностей такого индивида.

Выше была сформулирована аксиома потребителя, полностью описывающая его поведение в вопросах потребления. Эта аксиома чрезвычайно упрощает анализ поведения потребителя.

Выбор потребителем некоторого набора товаров во многом зависит от его вкусов, желаний.

Запись y ≤ x означает, что потребитель предпочитает набор x набору y или не делает между ними различий, запись x ~ y – оба набора обладают одинаковой степенью предпочтения.

Потребуем выполнение следующих аксиом:

1) x ≥ x, для любого x (рефлексивность);

2) если x ≥ y, y ≥ z, то х ≥ z (транзитивность);

3) для любой пары x, y либо x ≥ y, либо y ≥ x, либо и то и другое.

Кроме аксиом 1 – 3 на отношение предпочтения накладывают ряд других ограничений, главными из которых являются непрерывность и ненасыщаемость.

Отношение предпочтения f называется непрерывным на множестве Х, если множество { (x,y) | x ≥ y } является открытым подмножеством декартова произведения X × X, т.е. если набор товаров x0 строго предпочтительнее набора y0, то при малом изменении каждого из этих наборов отношение строгого предпочтения сохраняется.

Точкой насыщения называется наиболее предпочтительный набор х ∈ Х, т.е. такой, что x ≥ y для всех х ∈ Х. Если Х не содержит точки насыщения, то говорят, что имеет место ненасыщаемости, то х > у (ненасыщаемость: больший набор всегда предпочтительнее меньшего).

На непрерывном множестве потребительских наборов можно задать числовую функцию u(x).

Функция u(x), определенная на множестве Х, называется функцией полезности, соответствующей отношению предпочтения f, если u(х) ≥ u(у) тогда и только тогда, когда x f y.

Для каждого потребителя такое представление многовариантно.

Математики называют отношение рефлексивным, если X < X для всякого X; симметричным, если X < Y влечет, что и Y < X; транзитивным, если X < Y и Y < Z влечет X < Z; совершенным (или полным), если для любых двух наборов X, Y либо X <Y, либо Y <Х.

Аксиома.

1) Отношение слабого предпочтения рефлексивно, транзитивно и совершенно;

2) Отношение равноценности рефлексивно, симметрично и транзитивно;

3) Отношение предпочтения транзитивно;

4) Для любого X ∈ С множество предпочтительности РX= {Y:X < Y) выпукло;

5) Каждый товар желателен для индивида: если X ≤ Y, то и X ≤ Y, а если к тому же Х ≠ Y (т.е. хi <yi для некоторого i), то Х< Y.

Подчеркнем, что это именно аксиома, выражающая фундаментальные свойства системы предпочтений индивида, вообще говоря, живого человека. Что касается рефлексивности и совершенности, то они представляются вполне понятными. Ведь рефлексивность означает, что любой набор товаров равноценен сам себе. А совершенность означает, что индивид в состоянии сравнить по привлекательности любые два набора товаров. Пятое свойство также понятно и в разъяснениях не нуждается.

Какой смысл в четвертом свойстве системы предпочтений? Выпуклость означает, что лучше иметь комбинацию товаров, пусть в меньших количествах, чем просто только какой-то один из этих товаров (лучше иметь немножко соли, сахара, кофе, хлеба, чем одну только соль, один сахар, кофе, хлеб, хотя бы и в большем количестве).

Свойство транзитивности, которым обладают отношения предпочтения и слабого предпочтения, не совсем очевидно, не очень наглядно и не сразу осознается потребителем, но если ему объяснить, что получится, если его система предпочтений не транзитивна, то он согласится, что свойство транзитивности должно быть, и произведет необходимую переоценку привлекательности для него тех или иных наборов товаров.

5. Потребительская корзина

Положение каждого потребителя с точки зрения наличия у него товаров, мы можем выразить с помощью потребительской корзины. В каждый данный момент времени потребителю доступно конечное число товаров, причем потребление некоторых из них должно быть не на нулевом уровне.

– индекс товаров.