Пространство товаров. Цены

Два вектора называются равными, если они равны покомпонентно, т.е. если равны их первые компоненты, вторые и т.д. Итак, если Х =(x1, … , xn), Y =(y1, … , yn), то Х = Y если и только если хn = yn. Как видно из определения равенства, лишь для векторов одинаковой размерности можно говорить о равенстве или неравенстве этих векторов. Для векторов разной размерности говорить об их равенстве бессмысле

нно.

Описанные действия с векторами были иллюстрированы на примере векторов-строк. Действия с векторами-столбцами точно такие же, в результате получаются, конечно, также векторы-столбцы. Векторы-строки и векторы-столбцы одинаковой размерности связаны операцией транспонирования. Она превращает вектор-строку в вектор-столбец и, наоборот, вектор-столбец в вектор-строку. Эта операция обозначается верхним индексом т. Пусть U= (2, 3), тогда UT = (23). Легко понять, что операция транспонирования, осуществленная последовательно дважды, дает исходный вектор: (XT)T = X, каков бы ни был вектор X — строка или столбец.

Скалярное произведение векторов. Пусть Х =(x1, … , xn), Y =(y1, … , yn) — векторы одинаковой размерности, тогда число x1y1 + … + xnyn называется скалярным произведением векторов X и Y и обозначается X·Y. Приведем без доказательств (они очень просты) свойства скалярного произведения:

а) Х· = Y·X;

б) Х· (Y+ Z) = Х·У + Х·Z

в) Х· (λY) = λ (Х·Y) для любых векторов X, Y и любого числа λ.

2. Линейные пространства

Линейная зависимость и независимость векторов. Пусть Rn обозначает множество всех n-мерных векторов-строк. Заметим, что это не просто множество — Rn несет определенную структуру. Именно любой вектор Х∈ Rn можно умножить на любое число λX и результат — вектор λX есть снова элемент множества Rn. Сумма двух и даже любого конечного числа векторов из Rn снова есть элемент Rn. Кроме того, операции умножения вектора на число и сложения векторов связаны друг с другом определенными соотношениями (см. п. 2).

Во множестве Rn есть уникальный вектор 0 = (0, ., 0). Его роль вполне аналогична роли числа 0 во множестве чисел. Так, 0·X = 0 и X + 0 = X для любого Х∈ Rn .

Вектор X, удовлетворяющий неравенству X > 0, называется неотрицательным. Неотрицательный вектор — это в точности тот, все компоненты которого неотрицательны. Вектор (2, 3) является неотрицательным, а вектор (-2, 4) — нет, ибо его 1-я компонента не является неотрицательным числом.

По всем этим причинам Rn называют n-мерным числовым (или арифметическим) линейным пространством. Слово «числовое» в названии линейного пространства подчеркивает, что элементами такого пространства являются векторы, компоненты которых есть числа.

Вектор В = (b1, …, bm) называется линейной комбинацией векторов A = (a11, …, am1), …, An = (a1n, …, amn) той же размерности, если найдутся числа х1, ., хn такие, что В = x1A1 + . + хnАn. Следовательно, чтобы узнать это, надо решить систему из m линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными:

Узнаем, например, является ли вектор F = (1, 6) линейной комбинацией векторов H1 = (1, 2), H2 = (0, 2). Получаем совсем простую СЛАУ:

Ее решение: х1 = 1, х2 = 2. Следовательно, F = H1 + 2H2.

Система векторов называется линейно зависимой если какой-то вектор системы есть линейная комбинация остальных векторов системы, и линейно независимой в противном случае, т.е. когда никакой вектор системы не является линейной комбинацией остальных векторов системы.

Например, система из трех вышеприведенных векторов F1, H1, H2 линейно зависима, ибо F = H1 + 2H2

Пусть A — какая-нибудь система векторов, тогда ее подсистема ε называется базисом этой системы, если ε линейно независима, и любой вектор системы A есть линейная комбинация векторов из ε.

Пусть ε = (E1, …, En). Если B ∈ A, то B = λ1E1 + . + λnEn при некоторых λ1, …, λn

Линейная комбинация λ1E1 + . + λnEn называется разложением вектора В по векторам E1 . En, а числа λ1, ., λn называются коэффициентами этого разложения.

Эти коэффициенты называются координатами вектора в базисе ε.

3. Пространство товаров, цены

Под товаром понимается некоторое благо или услуга, поступившие в продажу в определенное время и в определенном месте. Будем считать, что имеется n различных товаров, количество i-го товара обозначается хi тогда некоторый набор товаров обозначается X = = (x1,…, хn). Как известно, упорядоченный набор n чисел называется n-мерным вектором, так что X есть n-мерный вектор. Вообще-то набор товаров надо считать вектором-столбцом, но по соображениям экономии места будем изображать его вектором-строкой. Будем рассматривать, как правило, только неотрицательные количества товаров, так что хi ≥ 0 для любого i = 1, … ,n или Х≥ 0.

Множество всех наборов товаров называется пространством товаров С. Это множество называется пространством потому, что в нем можно сложить любые два набора и умножить любой набор товаров на любое неотрицательное число. Возможность умножения набора товаров на любое неотрицательное число отражает предположение о безграничной делимости и умножении товаров (т.е. товары устроены наподобие сахарного песка, а не авианосцев). Набор товаров можно трактовать, как корзину, в которой лежат эти товары в соответствующем количестве. Аналогично интерпретируются и операции с наборами товаров.

Решение потребителя о покупке определенного набора товаров математически - выбор конкретной точки в пространстве C.

Пример 2. Пространство товаров С представляет собой часть арифметического линейного пространства Rn — так называемый неотрицательный октант, С = {X ∈ Rn : X≥ 0}. Поэтому при работе с пространством товаров можно использовать структуру линейного пространства (соблюдая некоторые естественные ограничения). Так, для любого X Є С подмножество LX = {λX: 0 ≤ λ} называется лучом, проходящим через X; для любых двух точек X, Y любая точка αХ + βY ∈ С называется их линейной комбинацией, а множество [X, Y] = {αХ + βY: α, β ≥ 0, α + β = 1} называется отрезком, соединяющим X и Y. Подмножество W ≤ С является выпуклым, если вместе с любыми X,Y ∈ W весь соединяющий их отрезок лежит в W.

Предполагается, что каждый товар имеет цену. Все цены строго положительны. Пусть цена единицы i-го товара есть рi, тогда Р = (pi,…,рn) есть вектор-строка цен.

Для набора товаров X и вектора цен Р их скалярное произведение РХ = р1x1 + . + рnxn есть число, называемое ценой набора X или его стоимостью, и будет обозначаться С(Х).

Пример 3. Отношение равной стоимости разбивает все пространство товаров на непересекающиеся классы (для случая двух товаров см. рис. 1). Пусть вектор цен есть (2, 3), тогда класс наборов стоимости 30 есть отрезок АВ, а стоимости 60 есть отрезок MN. Стрелка показывает направление увеличения стоимости наборов. В качестве этой стрелки можно взять вектор цен.

 Скачать реферат