Расчеты объема выпускаемой продукции производственным предприятием

На рисунке видно, что оптимальное решение соответствует точке В, лежащей на пересечении прямых (1) и (3). Поэтому ее координаты находим как решение системы линейных уравнений, задающих эти прямые:

х1 + 4х2 = 314

2х1 + 4х2 = 368

Решая эту систему находим х1* = 54, х2*= 65 . При этом значение целевой функции Z = 165х1* + 462х2* = 38550.

Полученное решение означает, что предприятию

необходимо ежемесячно производить 54 единиц продукции А и 65 единиц продукции Б, что позволит ему получать максимальную месячную выручку в размере 38550 рублей.

1.3. Построение двойственной задачи.

Найти неизвестные значения переменных u1, u2, u3 , удовлетворяющих ограничениям:

u1 + 3u2 + 2u3  165

4u1 + 5u2 + 4u3  456

u1 0, u2 0, u3  0

и доставляющих минимальное значение целевой функции

W = 314u1 + 535u2 + 368u3 ® min.

1.4. Нахождение оптимального решения двойственной задачи.

Для рассматриваемой нами задачи условия «дополнительной нежесткости» имеют вид:

u1 (314 - x1- 4x2 )= 0 x1(u1 + 3u2 + 2u3 - 165)= 0

u2(535 - 3x1 – 5x2)= 0 x2(4u1 + 5u2 + 4u3 - 456) = 0

u3(368 - 2x1 – 4x2)= 0 u1 ³0, u2 ³0, u3 ³ 0,

Подставляя в них найденные значения х1* = 54, х2*= 65, получим:

так как х1* = 54, то u1 + 3u2 + 2u3 - 165= 0

так как х2* = 65, то 4u1 + 5u2 + 4u3 - 456= 0

так как 535 - 3x1 – 5x2¹0, то u2* = 0.

Получаем систему уравнений:

u1 + 3u2 + 2u3 - 165= 0

4u1 + 5u2 + 4u3 - 456= 0

u2=0

Решая эту систему, находим оптимальные значения переменных двойственной задачи:

u1* = 63, u2* = 0, u3* = 51

Вычислим оптимальное значение целевой функции двойственной задачи:

W = 314 × 63 + 535 × 0 + 368 × 51 =38550, т.е. Z* = W*, что соответствует первой теореме двойственности.

1.5. Экономическая интерпретация переменных и оптимального решения двойственной задачи.

Для исследуемой задачи оптимизации производственной программы получим

u1 – стоимостная оценка сырья, ее размерность [руб./1 кг сырья];

u2 – стоимостная оценка времени работы оборудования, ее размерность [руб./1 ст.час];

u3 – стоимостная оценка трудовых ресурсов, [руб./1 чел.-час];

u1* = 63 означает, что при изменении количества сырья с 63 стан.-час до 63 + Δs, изменение максимальной суммарной выручки составит u1* Δs (руб.) = 63Δs (руб).

u2* = 0 означает, что ни увеличение, ни уменьшение месячного количества оборудования не приведет к изменению оптимального значения суммарной выручки .

u3* = 51 означает, при изменении месячного размера трудоресурсов с 51 стан.-час до 51 + Δt, изменение максимальной суммарной выручки составит u3* Δt (руб.) = 51Δt (руб).

1.6. Графический анализ устойчивости сырья

Количество используемого сырья S=х1 + 42 .

Если SÎ[0; S(D)], то точкой максимума является точка E(0; x1) пересечения оси Ох1 и прямой ограничения по сырью (1).

Если SÎ[S(D); S(C)], то точкой максимума является точка R(x1; x2) отрезка DC пересечения прямой ограничения по сырью и прямой (2)

Если SÎ[S(C); S(Р)], то точкой максимума является точка Q(x1; x2) отрезка CР пересечения прямой ограничения по сырью и прямой (3)

Если SÎ[S(Р); ¥], то точкой максимума является точка Р(0; x2) пересечения прямой (3) и оси Ох2.

Координаты точки Е находятся из системы уравнений

х1 + 4х2 = S

х2 = 0

Решаем ее:

х1 = S , х2 = 0.

Z*(S) = 165х1* + 456х2* =165S; u1 = 165; u2= 0; u3 = 0

Координаты точки R находим из системы уравнений

х1 + 4х2 = S

3х1 + 5х2 =535

Решаем ее:

х1 = (2140 - 5S)/7, х2 = (3S-535)/7.

Z*(S) = 165х1* + 456х2* = 165 ´ (2140 - 5S)/7+ 456´ (3S-535)/7= 77,6S+ 15591,4;

u1 = 77,6; u2= 0; u3 = 0.

Координаты точки Q находим из системы уравнений

х1 + 4х2 = S

2х1 + 4х2 = 368

Решаем ее:

х1 = 368-S, х2 = (2S-368)/4.

Z*(S) = 165х1* + 456х2* = 165 ´ (368-S)+ 456´ (2S-368)/4= 63S+ 18768;

u1 = 25; u2= 0; u3 = 0.

Координаты точки Р

х1 = 0, х2 =92.

Z*(S) = 165х1* + 456х2* = 41952

u1 = 0; u2= 0; u3 = 0.

S(D)= х1 + 4х2 =178,3+4´0=178,3,

S(C)= х1 + 4х2 =150+4´17=218

S(Р)= х1 + 4х2 =0+4´92=368

S 0S<178,3 178,3S<218 218S<368 S368

u1*(S) 165 77,6 63 0

Z*(S) 165S 77,6S+ 15591,4 63S+ 18768 41952

Интервал устойчивости [218;368)

Задача 2

Малое предприятие намерено организовать в следующем квартале выпуск продукции А и Б, пользующейся высоким спросом на рынке. Предприятие располагает необходимым сырьем и оборудованием и может привлечь квалифицированных рабочих на условиях почасовой оплаты, но не имеет средств на оплату труда рабочих. Для этого оно может получить в банке кредит сроком на три месяца под 40% годовых с погашением кредита и процентов по нему в конце квартала.

Информация о нормах затрат сырья, оборудования и трудовых ресурсов, объемах сырья и парка оборудования, имеющихся в распоряжении предприятия, размер выручки от реализации продукции А и Б приведены в таблице:

Целью организации выпуска новой продукции является получение максимальной суммарной прибыли, которая определяется как разность между суммарной выручкой, полученной от реализации произведенной за квартал продукции А и Б, и затратами, связанными с обеспечением кредита (возврат суммы кредита и начисленных процентов).

Требуется:

1. Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции с использованием кредита для выплаты зарплаты рабочими с произвольной почасовой ставкой t (руб./чел.-час) оплаты труда.

2. Определить оптимальную программу выпуска продукции, максимальную прибыль, необходимый размер кредита, сумму уплаченных процентов и потребность в трудовых ресурсах, если почасовая ставка t оплаты труда равна 10 руб./чел.-час.

 Скачать реферат