Расчеты объема выпускаемой продукции производственным предприятием

3) Известны объем выпуска продукции Yбаз = 984 (ед.) и наличные трудовые ресурсы Lбаз =63 (тыс. чел.-час.) в базовом периоде. Определим потребность в оборудовании в плановом периоде при увеличении объема выпуска продукции на 10%, если возможность увеличения трудовых ресурсов составляет не более 5%.

При заданном увеличении объем выпуска продукции составит

Y = 1.1×Yбаз = 1.1×

;984 = 1082,4 (ед.).

Существует множество комбинаций факторов производства (K, L), обеспечивающих выпуск продукции в объеме 1082,4 ед. Потребность в оборудовании в плановом периоде можно выразить как функцию от объема трудовых ресурсов. Используя уравнение изокванты

,

имеем:

.

Таким образом, если объем трудовых ресурсов, используемых в производстве, не изменится и останется на уровне Lбаз =63 (тыс.чел.-час.), то потребность в оборудовании в плановом периоде составит

(тыс. ст.-час.).

В базовом периоде потребность в оборудовании составляла

(тыс. ст.-час.).

L = 1.05×Lбаз= 1.05×63 = 66,15 (тыс. чел.-час.),

то потребность в оборудовании в плановом периоде составит

(тыс. ст.-час.).

Итак, при объеме трудовых ресурсов потребность в оборудовании в плановом периоде составит некоторую величину , определяемую соотношением

.

4) Согласно условию фирма может приобрести на рынке используемые в производстве ресурсы по ценам pK = 30 (ден. ед. / тыс. ст.-час.) и pL = 90 (ден. ед. / тыс. чел.-час.). Величина ее затрат C на покупку L единиц рабочей силы и К единиц оборудования составит

С = pKК + pLL = 30К + 90L.

Задача фирмы состоит в нахождении максимального объема выпуска продукции при условии, что уровень затрат на покупку ресурсов не превосходит 21000 ден. ед. Математическая модель этой задачи может быть записана так: найти объемы ресурсов К и L, удовлетворяющие ограничениям

30К + 90L ≤ 21000, (1)

К ≥ 0, L ≥ 0 (2)

и доставляющие максимальное значение целевой функции

→ max. (3)

Так как Y — нелинейная функция, то эта модель представляет собой задачу нелинейного программирования. Ограничение (1) называется бюджетным ограничением.

Графическое решение задачи производителя

Ее решение можно найти графическим методом. Для этого построим область допустимых решений, задаваемую условиями (1) и (2). Она представляет собой заштрихованный треугольник ОАВ. Граничная прямая АВ бюджетного ограничения задается уравнением

30K + 90L = 21000

Для определения оптимального решения проведем несколько линий уровня (изоквант) целевой функции, имеющих общие точки с областью допустимых решений. Как было показано в п. 2, чем выше находится изокванта, тем большему уровню целевой функции она соответствует (Y2 > Y1). Поэтому изокванта, соответствующая максимально возможному объему выпуска, должна касаться граничной прямой бюджетного ограничения (1), а точка ее касания D будет оптимальным решением задачи.

Для нахождения значений координат точки D используем тот факт, что градиент целевой функции grad Y = , вычисленный в точке касания, перпендикулярен прямой АВ. Это означает, что вектор grad Y и вектор нормали ОС = (pK, pL) этой прямой пропорциональны, т.е. справедливо равенство

. (4)

Поскольку отсюда имеем, что

Следовательно, K = 7L. Подставляя полученное выражение K через L в уравнение граничной прямой АВ, получаем:

90L + 30*7L = 21000.

Отсюда имеем, что оптимальная величина трудовых ресурсов равна

L* = 70.

Оптимальный объем оборудования равен

K* = 7*L = 7*70 = 490,

а соответствующий объем выпуска Y* = 4*4900.7∙700.3 ≈ 1093,3.

 Скачать реферат