Расчеты объема выпускаемой продукции производственным предприятием

Нахождим оценки а и b. Получаем:

хср = Σхi/15 =29,95/15 = 1,997 (тыс.руб.) – среднее значение среднедушевых доходов;

уср = Σуi/15 = 24,01/15 = 1,601 (тыс.руб.) – среднее значение среднедушевых потребительских расходов.

Следовательно, b = 0,683

а = уср – bxcp = 0,236

Таким образом, искомое уравнение регрессии примет вид

ŷ = 0,683x + 0,236

Найденное ур

авнение регрессии есть уравнение прямой, которая изображена на рис.

5.3. Нахождение коэффициента корреляции.

Мерой зависимости между переменными х и у может служить выборочный коэффициент парной корреляции, который обозначается через rxy и определяется по формуле:

nΣxiyi – ΣxiΣyi

rxy = --------------------------------------

√nΣxi2 – (Σxi)2 √ nΣуi2 – (Σуi)2

Подставляя соответствующие значения из последней строки табл.1, получаем

rxy = 0,951, rxy > 0 и близко к 1, следовательно, связъ сильная положительная, т.е. при увеличении доходов, расходы растут.

Для того, чтобы с большей уверенностью делать вывод о наличии или отсутствии линейной взаимосвязи между переменными х и у, разработан критерий проверки того, существенно ли отличие коэффициента корреляции от нуля или, другими словами, значимо ли значение коэффициента корреляции. Если в результате проверки выясняется, что коэффициент корреляции существенно отличается от нуля, то, несмотря даже на не очень близкое значение коэффициента к единице, делается вывод о наличии линейной взаимосвязи между переменными х и у. Если же подтверждается несущественное отличие rxy от нуля, то, не смотря на возможно достаточно большое значение коэффициента, делается вывод об отсутствии линейной взаимосвязи между переменными.

Проверка существенности отличия коэффициента корреляции от нуля проводится по схеме: .

│ rxy √ n-2 │

если > t1-α/2,n-2 ,

√1 – rxy2

то гипотеза о существенном отличии коэффициента корреляции от нуля принимается, в противном случае отвергается.

Здесь t1-α/2,n-2 – квантиль распределения Стьюдента, α - уровень значимости или уровень доверия, n – число наблюдений, (n-2) – число степеней свободы. Значение α задается исследователем зависимости между х и у. Примем α = 0,05, тогда t1-α/2,n-2 = t0,975,13 = 2,1604

.

rxy √ n-2 0,951´√15-2

_=11,053 > t0,975,13

√1 – rxy2 √1- 0,9512

Следовательно, коэффициент корреляции существенно отличается от нуля и существует сильная линейная связь между х и у. Т.е. если мы будем проводить многократное повторение эксперимента по исследованию зависимости между доходами и расходами, всякий раз выбирая различные группы из 15 субъектов РФ, то в 95% этих экспериментов будет обнаружена тесная линейная зависимость между х и у, т.е. в 95% случаев коэффициент корреляции rxy будет существенно отличатся от нуля.

5.4 Нахождение точечных и интервальных прогнозов.

Точечным прогнозом значения зависимой переменной у, соответствующего некоторому значению независимой переменной х = х0, называется значение ŷ0, получаемое путем подстановки в уравнение регрессии х = х0, т.е.

ŷ0 = ŷ(х0)= a + bx0 – точечный прогноз.

Найдем точечный прогноз среднемесячных потребительских расходов в 10-ом субъекте РФ в будущем периоде, что среденемесячные денежные доходы в этом субъекте увеличатся на 30%, т.е.

х0 = х10 + 0,3´х10 = 1,3´х10 = 1,3´2,47 = 3,21

ŷ0 = 0,236 + 0,683´3,21 = 2,431 (тыс.руб.).

Таким образом, если среднемесячные денежные доходы в 10-м субъекте РФ увеличатся на 30%, то потребительские расходы в этом субъекте составят 2,431 тыс.руб.

Интервальным прогнозом зависимой переменной у, соответствующим некоторому значению независимой переменной х = х0, называется доверительный интервал, границы которого находятся по формуле:

ŷв.н. = ŷ(х0) ± t1-α/2,n-2Sŷ,

где ув, ун – соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала;

ŷ(х0) – точечный прогноз;

t1-α/2,n-2 –квантиль распределения Стьюдента;

(1-α/2) – доверительная вероятность;

(n-2) – число степеней свободы;

/ 1 (x0 – xcp) S(ŷi - yi)2

Sŷ = S √ ¾ + ¾¾¾¾¾ , S = √S2 , S2 = ¾¾¾¾,

n S(xi – xcp)2 n-2

Доверительный интервал – это такой интервал, в котором с заданной вероятностью будет находиться прогнозируемое значение зависимой переменной у.

Найдем интервальный прогноз среднемесячных потребительских расходов в 10-м субъекте РФ в будущем периоде предполагая, что среднемесячные денежные доходы в этом субъекте РФ увеличатся на 30%.

Ранее вычислено ожидаемое значение денежных доходов х0 = 3,21 тыс.руб.

Пусть α = 0,05, тогда 1-α = 0,95; t1-α/2,n-2 = t0,975,13 = 2,1604;

S(ŷi - yi)2 0,222 .

S2 = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = 0,017; S = √ 0.017 = 0.131

n – 2 13

(х0 - хср)2 = (3,21 – 1,997)2 = 1,475

S(xi - xcp)2 = Sхi2 – n(xcp)2 = 64,262- 15´1,9972 = 4,461.

_

/ 1 (x0 – xcp)2 / 1 1,475

Sŷ = S √ ¾ + ¾¾¾¾¾ = 0.131 √ ¾ + ¾¾¾¾ = 0,082

n S(xi – xcp)2 15 4,461

Следовательно, ŷн =2,431 – 0,082 = 2,349 (тыс.руб.)

ŷв = 2,431 + 0,082 = 2,513(тыс.руб.)

Это означает , что при увеличении среднедушевых среднемесячных денежных доходов на 30%, т.е. с 2,47 тыс.руб. до 3,21 тыс.руб., размер среднедушевых среднемесячных потребительских расходов с вероятностью 0,95 будет колебаться в пределах от 2,349 тыс.руб. до2,513 тыс.руб.

Содержательная интерпретация полученных результатов.

Рассмотрим найденное уравнение регрессии ŷ = 0,683x + 0,236. Коэффициент а = 0,236 не имеет экономического смысла, поскольку формально соответствует размеру потребительских расходов при нулевом уровне денежных доходов. Коэффициент b = 0,683 определяет прирост потребительских расходов, обусловленный приростом денежных доходов.

Содержательная интерпретация всех остальных понятий и формул, использованных в данной задаче была приведена по ходу решения.

В заключение впишем итоговые результаты.

1. у = α + βх + u – математическая модель зависимости потребительских расходов от денежных доходов.

ŷ = 0,683x + 0,236– уравнение регрессии, количественно выражающее зависимость расходов от доходов.

2. rxy =0,951– коэффициент корреляции между х и у, его значение свидетельствует о достаточно тесной линейной зависимости расходов и доходов.

4. ŷ0 (х0) = 2,431 (тыс.руб.) – точечный прогноз;

ŷн = 2,329(тыс.руб.)

ŷв = 2,513 (тыс.руб.) - интервальный прогноз с 95% доверительной вероятностью.

 Скачать реферат