Внеклассная работа по математике в 7-9 классах

Примеры олимпиадных задач 1998 года, решения и комментарии к этим задачам.

7 класс

1. Турист листая дневник путешествия, заметил, что на позапрлошлой неделе он прошел на 5 км больше, чем на прошлой, а на прошлой неделе – на 60 км меньше, чем на этой и позапрошлой неделях вместе. Сколько километров он прошел на этой неделе?

2. Существуют ли 2003 натуральных числа, сумма которых равна

их произведению? Если да, то приведите пример, если нет, то обоснуйте ответ.

8 класс

1.На острове Чунга-Чанга 80% мужчин женаты, а 40% женщин -замужем. Какая доля населения этого острова состоит в браке?

2.Можно ли треугольник с тремя различными сторонами разрезать на два равных треугольника?

3.В таблице 3*3 расставлены положительные числа. Произведение чисел в каждой строке и в каждом столбце равно 1, а произведение чисел в любом квадрате 2*2 равно 4. Какое число стоит в центре квадрата?

4.Доказать, что число 2001*20033 - 2002*20023 является кубом натурального числа.

5.В пробирке находится 2001 красная амёба, 2002 синие амёбы и 2003 зелёные амёбы. Две амёбы двух разных цветов могут сливаться в одну амёбу третьего цвета (красная и зелёная - в синюю, красная и синяя - в зелёную, зелёная и синяя - в красную). После нескольких таких слияний в пробирке осталась ровно одна амёба. Каков её цвет?

9 класс

Бизнесмен Вася купил 2 автомобиля, заплатив в сумме 36000$, и перепродал их, получив 25% прибыли. При перепродаже первого автомобиля прибыль составила 50%, а при перепродаже второго - 12,5%. Но о второй сделке Вася не сообщил в налоговую инспекцию, и в конце года с него взяли штраф, равный половине первоначальной стоимости второго автомобиля. Сколько долларов потерял Вася в результате данной сделки?

В таблице расставлены числа. В каждой строке и в каждом столбце произведение чисел равно 1. В каждом квадрате произведение чисел равно 2. Найти произведение чисел, стоящих в двух верхних клетках третьего столбца.

Докажите, что число 516 + 214 - составное число.

Дана окружность с центром в точке О1. Окружность с центром О2 проходит через точку О1. А и В - точки пересечения этих окружностей. Касательная к окружности с центром О2, проходящая через точку В пересекает первую окружность в точке С. Докажите, что AB=BC.

По кругу сидят 2002 хамелеона, которые могут менять цвет в следующем порядке: синий, оранжевый, фиолетовый, зелёный. Если прикоснуться к одному из них, то он меняет цвет на следующий по порядку, и одновременно с ним меняют свой цвет трое следующих за ним по часовой стрелке. В начальный момент времени все хамелеоны - синие. Можно ли добиться того, чтобы все хамелеоны стали зелёными?

РЕШЕНИЯ

7 класс

1. Обозначим через х, у ,z количество километров, которые прошел турист на этой, прошлой и позапрошлой неделях соответственно. Тогда z=y+5 x+z=y+60

Откуда z-y=5 и z-y=60-х.

5=60-хх=55 км.

2. Например, можно взять числа 2003, 2 и еще 2001, 1. Тогда их произведение будет равно их сумме.

2003*2*1=2003+2+2001*1=4006

8 КЛАСС.

Количество мужчин и женщин, состоящих в браке, - одно и то же. Обозначим его . Тогда мужчин на острове - , женщин - . Общее число жителей - .

Состоящих в браке - . Тогда искомая величина: .

2. Пусть разрезан на два равных треугольника (см. рис). Тогда в должен быть равен одному из углов . Но не может равняться или , так как внешний угол треугольника всегда больше внутреннего угла, не смежного с ним. Если же , то , значит является высотой. Так как в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, то , что противоречит тому, что - разносторонний. Следовательно, разносторонний треугольник нельзя разрезать на два равных треугольника.

(ABDE)(BCEF)=(ABC)(DEF)(BE).

Учитывая, что ABDE=BCEF=4, ABC=DEF=1, получаем равенство: 16=BE. Аналогично получим, что EH=16. Перемножаем полученные равенства: (BE)(EH)=(BEH)E. 1616=E.

Ответ: E=256.

Обозначим 2001=. Тогда данное нам числовое выражение запишется в виде:

Тогда .

Пусть Nk, Ns и Nz - количество красных, синих и зелёных амёб, соответственно. В начальный момент времени , - нечётны, - чётно. Нетрудно проверить, что при любом слиянии эти чётности сохраняются. Поэтому в конце концов , . Ответ: последняя амёба - синяя.

9 КЛАСС

Пусть x$ - стоимость первого автомобиля, y$ - стоимость второго автомобиля. При продаже Вася получил 9000$ чистой прибыли. Составляем систему уравнений:

.

Решив систему, найдём . Тогда сумма штрафа составляет 12000$. 12000 - 9000=3000.

Таким образом, Вася потерял 3000$.