Векторные многоугольники в физических задачах

Рефераты / Педагогика / Векторные многоугольники в физических задачах

Для решения задач по динамике общий алгоритм следующий:

1) выяснить, с какими телами взаимодействует движущееся тело, и, сделав схематический чертеж, заменить действие этих тел силами;

2) записать уравнение движения (второй закон Ньютона) в векторной форме;

3) спроецировать векторные величины на координатные оси (значительно облегчает решение задачи рациональный выбор расположения н

ачала координат и направлений координатных осей);

4) если полученная система уравнений не является полной, составить недостающие уравнения, используя третий закон Ньютона, законы трения или законы кинематики;

5) решить полученную систему уравнений относительно неизвестных в общем виде и проверить размерность искомой величины;

6) сделать численные расчеты, проанализировать полученные результаты.

Если в задаче рассматривается движение нескольких тел, необходимо записать второй закон для каждого из них и учесть кинематические и динамические связи между ними (например, равенство ускорений тел, жестко связанных между собой, равенство сил действия и противодействия и т.д.).

При анализе задач и составлении уравнений, описывающих физические процессы и явления нужно хорошо знать, какие из величин, входящие в формулы физики, являются скалярными, а какие векторными.

Как видно из приведенных алгоритмов решения задач по кинематике и динамике, для вычислений чаще всего используют соответствующие уравнения в проекции на оси координат, поэтому возникает необходимость обучить учащихся преобразованию векторного уравнения в уравнения для проекций, т.е. прежде всего, выработать у них умение определять проекцию вектора на ось. Для этого полезно следующее алгоритмическое предписание:

1) изобразить вектор графически в избранном масштабе; указать на рисунке начало координат и координатную ось;

2) спроецировать на ось начальную и конечную точки вектора;

3) найти длину отрезка между проекциями этих точек на ось; если можно, выразить длину отрезка через модуль вектора;

4) обозначить наименьший угол между положительным направлением оси и направлением вектора; определить этот угол;

5) если указанный угол острый, то приписать проекции знак “+", если нет, то приписать проекции знак “-".

6) записать проекцию вектора: длину отрезка, определенную в п.3, со знаком, установленным в п.5 (или: вычислить проекцию вектора по формуле ax = |a|×cosa, если известен |a|).

Таким образом, при решении задач школьного курса по кинематике и динамике применяется координатный способ, предполагающий использование, по крайней мере, двух алгоритмов.

Предлагаемый в последующих разделах данной работы векторный (геометрический) способ решения в ряде случаев имеет преимущество перед координатным. Решение задач с использованием векторного способа предполагает построение векторных многоугольников скоростей, перемещений, ускорений, сил, импульсов. Решение векторных многоугольников (т.е. таких, сторонами которых являются векторы) производится по тем же правилам, что и решение обычных многоугольников. При этом, если получившаяся при построении фигура является косоугольным треугольником, ее решение сводится к применению теоремы синусов и теоремы косинусов. Если же треугольник получается прямоугольным, решение упрощается (используются соотношения сторон и углов прямоугольного треугольника, теорема Пифагора). Таким образом, при применении векторных многоугольников для решения некоторых задач механики отпадает необходимость в проекцировании векторных величин на оси координат, чем, в первую очередь, и упрощается решение конкретной задачи.

Векторные треугольники скоростей и перемещений в задачах

Кинематика изучает „геометрию” движения - математическое описание движения без анализа причин, его вызывающих. Другими словами, без выяснения вопроса, почему рассматриваемое движение происходит именно так, а не иначе, устанавливается математическое соотношение между его различными характеристиками, такими как перемещение, пройденный путь, скорость, ускорение, время движения.

При движении тела (материальной точки) его перемещение можно рассматривать как геометрическую сумму нескольких последовательных перемещений, например,

. (2.1 1)

Соответствующий (2.1 1) многоугольник (треугольник) перемещений представлен на рис.1. Изменение скорости тела

; (2.1 2)

этому выражению соответствует треугольник скоростей (рис.2).

Если тело движется с постоянным по величине и направлению ускорением , то выражение для скорости в любой момент t времени имеет вид:

; (2.1 3)

где при t = 0. В общем случае направления векторов начальной скорости и ускорения могут не совпадать. Треугольник скоростей, соответствующий выражению (2.1 3), приведен на рис.3. Вектор перемещения при этом определяется следующим образом: