Оператор сдвига в гильбертовом пространстве

Определение 12. Оператором взвешенного сдвига называется произведение оператора сдвига (одностороннего или двустороннего) на диагональный (в этом же базисе) оператор.

Более подробно: пусть – ортонормированный базис (n = 0, 1, 2, … или n = 0, 1, idth=15 height=16 src="images/referats/3110/image149.png">2, …) и пусть – ограниченная последовательность комплексных чисел (n пробегает те же значения, что и выше). Оператором взвешенного сдвига называется оператор вида SP, где S– оператор сдвига (Sln= ln+1) ,а Р – диагональный оператор с диагональю (Pln = ln ).

Найдем выражение для нормы и спектрального радиуса оператора взвешенного сдвига через его веса.

Вспомним, что сдвиг S1 – изометрический оператор, значит, не изменяет нормы элемента: для любого .Поэтому норма оператора А равна норме соответствующего диагонального оператора: для любого и . Найдем норму диагонального оператора Pln = , где – некоторая ограниченная последовательность комплексных чисел. Рассмотрим произвольную последовательность с единичной нормой: . При этом в базисе элемент имеет разложение . Подействуем на элемент х оператором Р: . При этом . Отсюда следует, что . Покажем, что выполняется также и обратное неравенство. Если для последовательности достигается, т.е. при некотором , то возьмем элемент : , . Если же не достигается, то можно взять подпоследовательность , тогда . Это говорит о том, что не может быть . Итак, и . Мы получили, что норма оператора взвешенного сдвига равна точной верхней грани модулей его весов.

Чтобы найти спектральный радиус оператора взвешенного сдвига, найдем нормы его степеней. Вычислим степени оператора А: Aln = , A2ln = ,A3ln = , и так далее. Следовательно, Ак можно представить в виде произведения изометрии (к-й степени оператора сдвига) и диагонального оператора, у которого n-й диагональный член равен произведению к последовательных чисел , начиная с . Значит, , отсюда, .

8. Операторы сдвига в пространстве функции на единичной окружности

Рассмотрим единичную окружность на комплексной плоскости, т. е. всевозможные комплексные числа , по модулю равные 1. Рассмотрим комплексную последовательность и составим ряд . Если он сходится для всех , таких, что , то – функция от переменной , определенная на единичной окружности. Заметим, что для последовательностей из пространства , таких, что ряд сходящийся, ряд сходится для всех , таких, что . Итак, существует взаимно однозначное соответствие между пространством и множеством A функций на единичной окружности, представимых в виде суммы обобщенного степенного ряда с абсолютно сходящимся рядом коэффициентов. Рассмотрим, в какой оператор переходит при этом оператор сдвига U. Обозначим этот оператор . Пусть и – соответствующая функция. Тогда . Итак, в пространстве А оператору сдвига соответствует оператор умножения на функцию .

 Скачать реферат