Оператор сдвига в гильбертовом пространстве

Мы будем рассматривать операторы из пространства *(L(H)). Для операторов из этого пространства можно ввести норму как расширение нормы на пространстве *(L(H)). Но в отличие от стандартной нормы она может быть также и бесконечна. Назовем оператор из *(L(H)) ограниченным, если его норма конечна

Определение 13. Спектром оператора А*(L(H)) называется множество точек λ, для которых оператор А– λI не имеет ограниченного обратного в *(L(H)).

Теорема 12. Если существует элемент с не бесконечно малой нормой, такой, что для некоторого λ, то число принадлежит спектру оператора А.

Доказательство. Предположим, что обратный оператор существует. Обозначим . Тогда , а . Норма элемента равна 1, а норма элемента бесконечно большая. Отсюда следует, что оператор не ограничен.

Определение 14. Элемент с не бесконечно малой нормой, такой, что для некоторого λ, называется почти собственным вектором оператора А, а число – точкой почти собственного спектра оператора А.

Рассмотрим оператор сдвига U в пространстве , т. е. оператор, каждую последовательность вида переводящий в последовательность вида

Также будем рассматривать оператор двустороннего сдвига , он каждую последовательность вида сдвигает вправо, т.е. переводит в последовательность .

Рассмотрим следующую задачу. В пространстве *возьмем следующую последовательность: , где – бесконечно большой номер. Найдем норму этого элемента: . Если же качестве возьмем , то получим . Покажем, что данный элемент является почти собственным вектором оператора сдвига с почти собственным числом , т. е. . Действительно, =, следовательно, .

Можно доказать также более общий факт.

Теорема 13. Любая точка единичной окружности является почти собственным числом оператора двухстороннего сдвига, соответствующим некоторому почти собственному вектору.

Доказательство. В пространстве *l2(-,) рассмотрим следующую последовательность: =, где =и – некоторый бесконечно большой номер. Найдем норму этого элемента: . Возьмем и рассмотрим разность . Так как

Ux=, ,

то . Найдем норму этой разности: , т. е. .

Заключение

В работе показано, что нестандартное расширение оператора сдвига сохраняет многие свойства стандартного сдвига, в частности, свойство ограниченности и норму. Но также имеются и отличия, например, существование у нестандартного оператора сдвига почти собственных векторов.

Список литературы

1. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре.–М.: Мир, 1964.

2. Девис Д. Прикладной нестандартный анализ.

3. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст]./ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Просвещение, 1968.

4. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах [Текст]. – М.: Просвещение, 1972.

 Скачать реферат