Некоторые линейные операторы

Рассмотрим f0(x) = 0 C[0, 2] и последовательность функций fn(x)=.

В пространстве E C[0, 2]: p (f0, fn) = || = 0, следовательно fn f0.

Рассмотрим последовательность образов: Д(fn ) = cos(nx).

Имеем:

p (Дfn, Дf0) = |cos(nx)| = 1.

Это означает, что Дfn не может сходиться к Дf0 , то есть отображение Д терпит разрыв в f0.

Поскольку оператор не является непрерывным, то, следовательно, он и не является ограниченным.

3.2) Теперь покажем, как из неограниченности оператора следует его разрывность.

Пусть оператор Д действует из C[0, 1] в C[0, 1], оператор Дf(x) = f/(x);

Этот оператор определен не на всем пространстве непрерывных функций, а лишь на подпространстве непрерывных функций, имеющих непрерывную производную.

В пространстве C[0, 1] норма ||f|| = |f(t)|.

Возьмем из C[0, 1] последовательность fn(t) = tn. Она ограничена в C[0, 1]: ||fn(t)|| = |tn| = 1.

Рассмотрим Д fn(t): Д fn(t) = f/n(t) = n tn-1;

||f/n(t)|| = |n tn-1| = n.

В результате получили, что оператор Д переводит ограниченное множество в неограниченное, значит, по определению этот оператор не является ограниченным, а по теореме 3 не является непрерывным.

Вывод:

Оператор дифференцирования Д действующий в пространстве дифференцируемых функций – D[a,b], заданный следующим образом: Дf(x)=f/(x), где функция f(x) D[a, b], f/(x) C[a, b]:

1. линейный;

2. не ограниченный;

3. не непрерывный.

§7. Оператор сдвига

Рассмотрим оператор А, действующий в пространстве непрерывных и ограниченных функций – C[], заданный следующим образом:

Af(x) = f(x+a).

Функции f(x), f(x+a) C[], a R, f(x+a) – непрерывная и ограниченная функция.

Покажем линейность оператора А, по определению 1 должны выполняться следующие аксиомы :

1) Аксиома аддитивности: А(f+g) = А(f) + А(g).

А(f+g) = (f+g)(x+a) = f(x+a) + g(x+a) = А(f) + А(g).

По определению суммы функции, аксиома верна.

2) Аксиома однородности: А(kf) = kА(f).

A(k*f(x)) = k*f(x+a) = k*A(f(x)).

Аксиомы 1 и 2 верны, следовательно можно сделать вывод, что А – линейный оператор.

3) Проверим является ли оператор A непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:

p (fn(x), f0(x)) 0 p (A fn(x), Af0(x)) 0.

Оператор А действует в пространстве C[], в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:

p (fn(x), f0(x)) = | fn(x) - f0(x)|.

Решение:

p (A fn(x), Af0(x)) = |Afn(x) - Af0(x)| = |fn(x+a) - f0(x+a)| = = |fn(t) - f0(t)| = p (fn(t), f0(t)) 0.

Таким образом p (A fn(x), Af0(x)) 0. Следовательно оператор А непрерывен.

4) Непрерывный оператор является ограниченным, а у ограниченного оператора есть норма, найдем норму оператора А (по определению 5):

||A|| = |Af| = |f(x+a)| 1.

Поскольку ||f|| = |f(x)| 1.

Норма А: ||A|| = 1.

5) Обратимость оператора А: Af(x) = f(x+a)

Такой оператор A сдвигает функцию на const a; обратный к A оператор будет сдвигать функцию на const (-a):

A-1f(x) = f(x-a).

6) Спектр оператора А.

Рассмотрим пространство непрерывных функций – С[0, +), имеющих конечный предел на :

Af(x) = f(x+a), a0.

Вопрос о спектре оператора А касается разрешимости в пространствах С[0,b) и С[а,+).

Введем функцию V(x) = при ||<1, 0, найдем ее предел:

= 0

Следовательно рассмотренная функция входит в пространство С[0,+).

Теперь рассмотрим V(x+a) = = *= *V(x).

Для =0 подберем непрерывную функцию = 0 при x а и не равную 0 при x [0, a]. Для этой функции A(V(x)) = 0 то есть она является собственным вектором для числа 0; функция V(x) = с, так же удовлетворяет разностному отношению V(x) - V(x+a) = 0. Значит =1 точечному спектру и в том и в другом пространстве. И все точки внутри единичного круга точечному спектру.

 Скачать реферат