Некоторые линейные операторы

Итак:

||Bg|| ||g(x)||*( + *{1, }*b);

То есть В – ограничен.

Остал

ось проверить, что В – оператор, обратный к (A - *I).

Если это так, то произведение этих операторов равно единичному оператору или же (A - *I)*(Bg) = g(x).

Итак, нужно доказать, что

+ g(x) + *= g(x)

или

-*- + **= 0; (*)

Возьмем производную от левой части (*) и получим:

-*g(x) - **+ **+ *** g(x) = -*g(x) + *g(x) - **+ **= 0;

Следовательно, выражение (*) = const. Но, так как при x=0 выражение (*) (точнее его левая часть) равно 0, то и const=0. Значит В – обратный оператор к (A - *I) в S.

Итак, мы получили ограниченный оператор В, обратный к (A - *I), который существует при R, за исключением =0, то есть все возможные 0 – это регулярные точки оператора А; Сам же оператор В – резольвента оператора А. Спектр оператора А – значение при которых В не существует, то есть =0.

Вывод:

Оператор интегрирования, действующий в пространстве непрерывных функций – C[a,b], определенных на отрезке [a,b], заданный следующим образом: Аf(t) = , где f(t) – функция, непрерывная на [a, b], t [a,x]; x [a,b]; a,bR:

1. линейный;

2. непрерывный;

3. ограниченный: 0 || |b-a|;

4. норма A: ||A|| = (b-a);

5. резольвента оператора А: R(A) = -- **, где

x [0,b], t [0,x], g(x) S, S = {f C[0,b] / f(0) = 0} с нормой ||f||=|f(x)|, g(x) = - *f(x), - произвольное число.

6. Спектр оператора А: =0.

§6. Оператор дифференцирования.

Рассмотрим оператор дифференцирования Д действующий в пространстве дифференцируемых функций – D[a,b], заданный следующим образом:

Дf(x) = f/(x);

Функция f(x) D[a, b], f/(x) C[a, b];

Проверим оператор Д на линейность, по определению 1:

1) Аксиома аддитивности: Д(f+g) = Д(f) + Д(g).

Д(f+g) = (f+g)/ = f/ + g/ = Д(f) + Д(g).

2) Аксиома однородности: Д(kf) = kД(f).

Д(kf) = (kf) / = k(f)/ = kД(f).

Исходя из свойств производной:

1. производная от алгебраической суммы нескольких функций равна алгебраической сумме их производных;

2. постоянный множитель можно вынести за знак производной.

Можно утверждать, что Д – линейный оператор.

3) Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора эквивалентны, это следует из теоремы 3.

3.1) Для начала покажем, что Д не является непрерывным оператором.

Задан оператор Дf(x) = f/(x) подпространства E C[0, 2], состоящего из непрерывно дифференцируемых функций, в пространство C[0, 2].

 Скачать реферат