Алгебраические системы замыканий

Системы замыканий и операторы замыкания могут быть определены на любой полной решётке L и соотношения между ними, установленные в теореме 1, сохраняются.

На самом деле теорема 1 является частным случаем соответствующей теоремы (при L = B (A)) для произвольной полной решётки L.

Элементы системы D называются замкнутыми множествами множества A, а (X) называется замыканием множества

X в A ((X) на самом деле замкнуто в силу J. 3). Как было отмечено, D является полной решеткой относительно . Точнее, если задано некоторое семейство (Xi)iI в D, то множество ∩Xi будет наибольшим замкнутым множеством, содержащимся во всех множествах Xi, а ∩{YD | YXi для всех iI} – наименьшим замкнутым множеством, содержащим все множества Xi.

§3. Алгебраические системы замыканий

Начнем с понятия алгебраической операции.

Пусть A – универсальная алгебра с множеством алгебраических операций Ω. Каждая операция ω из Ω имеет определённую арность n, nN{0}.

Для любого натурального n n-арная операция ω – это отображение из An в A, то есть каждой упорядоченной n-ке {a1; …; an}An операция ω ставит в соответствие однозначно определённый элемент ω(a1; …; an) из A.

В случае п = 1 это будет любое преобразование множества A (отображение A в себя).

Если n = 0, то a0 – это одноэлементное множество и 0-арная операция ω переводит элемент a0 в некоторый элемент ω(a0) = ω из A, то есть 0-арная операция ω фиксирует некоторый элемент в A: является некоторым выделенным элементом алгебры A.

Если дана универсальная алгебра A с множеством алгебраических операций Ω, то подмножество BA называется подалгеброй алгебры A, если оно замкнуто относительно всех операций из Ω. Иными словами, для любого ωΩ, n1, и любых а1, а2, …, апB должно быть

ω(а1, а2, …, ап)B.

С другой стороны, элементы, отмечаемые в A всеми 0-арными операциями из Ω (если такие существуют), должны содержаться в подалгебре B.

Очевидно, что пересечение любой системы подалгебр универсальной алгебры A, если оно не пусто, будет подалгеброй этой алгебры.

Отсюда следует, что если X – непустое подмножество алгебры A, то в A существует наименьшая среди подалгебр, содержащих целиком множество X. То есть существует наименьшая подалгебра в A, содержащая X и она равна пересечению всех подалгебр алгебры A, содержащих X. Обозначим её через и назовём подалгеброй, порожденной множеством X.

Стоит отметить, что пересечение подалгебр может быть пустым, если множество алгебраических операций Ω алгебры не содержит 0-арных операций.

Заметим, что система S(А) всех подалгебр алгебры A является алгебраической системой замыканий, то есть соответствующий оператор замыкания Xявляется алгебраическим.

Очевидно, что соответствие Xявляется оператором замыкания. Проверим, является ли он алгебраическим.

Возьмём a, тогда a будет принадлежать и , где – конечное подмножество множества X, так как элемент a получается путём применения конечного числа конечноместных n-арных операций ωΩ.

Справедливо и обратное утверждение:

Если D – произвольная алгебраическая система замыканий на множестве A, то для подходящего набора алгебраических операций Ω и соответствующей структуры универсальной алгебры на A, имеем S(A) = D.

Для доказательства обозначим через (X) оператор замыкания для алгебраической системы замыканий D на множестве A. Зададим алгебраические операции на A следующим образом. Каждой n-ке a1, …, anA, где nN, и произвольному элементу b({a1, …, an}) поставим в соответствие свою n-арную операцию ω, определенную следующим правилом:

ω(x1, …, xn) = (4)

Это определяет структуру универсальной алгебры на A, где для каждого натурального числа n операции из Ω заданы формулой (4). Таким образом определено бесконечно много алгебраических операций на множестве A, если A бесконечно.

Пусть Ω(X) = – оператор замыкания, соответствующий системе S(A) подалгебр универсальной алгебры A. Проверим, что (X) = Ω(X).

Пусть XA и предположим сначала, что X конечно, то есть X = {c1, …, cm}. Тогда (X)Ω(X) по определению (4) алгебраических операций ω.

C другой стороны, так как (X) = (X), то для любой n-ки a1, …, an(X) и для любой n-арной операции ωΩ ω(a1, …, an)({a1, …, an})(X) = (X). Поэтому (X) является подалгеброй алгебры и, значит, Ω(X)(X).

 Скачать реферат