Алгебраические системы замыканий

Пусть теперь X – произвольное подмножество множества A, тогда, так как оба оператора замыкания (X) и Ω(X) – алгебраические (первый по предположению, а второй в силу доказанного выше), имеем

(X) = (X ') = Ω(X ') = &#

61514;Ω(X),

где X ' пробегает конечные подмножества множества X.

Итак, доказан следующий результат:

Теорема 2. Система S(A) подалгебр универсальной алгебры A является алгебраической системой замыканий. Обратно, если дана алгебраическая система замыканий D на множестве A, то для подходящего множества алгебраических операций Ω можно определить такую структуру универсальной алгебры на A, что S(A) = D.

Полученный выше результат можно использовать при построении оператора замыканияΩ(X), соответствующего системе S(A) подалгебр универсальной алгебры A.

Отметим, что примеры 1 и 3 дают алгебраические системы замыканий, а система замкнутых множеств топологического пространства (пример 2), как правило, не алгебраическая.

§4. Соответствия Галуа

Соответствия Галуа могут определятся разными взаимосвязями, имеющимися между различными понятиями. Нам будет наиболее интересен тот факт, что соответствия Галуа являются одним из наиболее важных примеров систем замыканий.

Для начала сформулируем понятие соответствия Галуа.

Пусть M и M ' упорядоченные множества, в которых отношение порядка обозначаются одинаково . И пусть указаны отображения φ: MM ' и ψ: M 'M, удовлетворяющие (для любых a, bM, a ', b 'M ') следующим требованиям:

a) если ab, то aφbφ,

если a 'b ', то a 'ψb 'ψ,

b) aφψa, a 'ψφa '.

Тогда пара (φ, ψ) называется соответствием Галуа между упорядоченными множествами M и M '.

Данное определение наиболее общее и формальное.

Рассмотрим теперь более конкретное задание соответствия Галуа, переобозначив отображения φ и ψ одинаково – символом *. Но при этом будем иметь в виду, что эти отображения всё-таки разные.

Пусть A и B – некоторые множества и Ф – соответствие из A в B, то есть подмножество прямого произведения AB. Для любого подмножества X множества A определим подмножество X* множества B равенством

X* = {yB | (x, y) Ф для всех xX}

и аналогично для любого подмножества Y множества B определим подмножество Y* множества A равенством

Y* = {xA | (x, y) Ф для всех yY}.

Таким образом, имеем отображения

XX*, YY* (5)

множеств B (A), B (B) друг в друга, обладающие следующими свойствами:

если X1X2, то X1*X2*; (6)

если Y1Y2, то Y1*Y2*;

XX**, YY**; (7)

X*** = X*, Y*** = Y*. (8)

Условия (6) и (7) вытекают непосредственно из определений; если (6) применить к (7), получаем X*X***, в то время как (7), примененное к X*, дает обратное неравенство. Таким образом, любые отображения (5), удовлетворяющие (6) и (7), удовлетворяют также (8).

Пара отображений (5) между булеанами B (A) и B (B) с отношением включения , или в более общем случае между любыми упорядоченными множествами, называется соответствием Галуа, если выполняются условия (6), (7) (и, следовательно, (8)).

Приведём наиболее интересные примеры соответствий Галуа.

Пример 4.1: Пусть R – коммутативное кольцо с единицей. Определим соответствие в R правилом xy. Это соответствие устанавливает, в частности, соответствие Галуа между простыми идеалами кольца R и некоторыми мультипликативно замкнутыми подмножествами кольца R.

Идеал P кольца R назовём простым, если для a, bR: a∙bPaP или bP.

Возьмем простой идеал P кольца R. Поставим ему в соответствие множество P* = {yR: xy для всех xP} = R\P – замкнутое относительно умножения.

Возьмем мультипликативно замкнутое подмножество Y. Поставим ему в соответствие множество Y * = {xR: xy для всех y Y} = R\Y – простой идеал.

Покажем выполнимость свойств.

Если P1P2, то R\P1R\P2 − очевидно, так как R\P1 является дополнением к P1, а R\P2 – дополнением к P2. Аналогично для Y 1Y 2.

Возьмем подмножество P из множества простых идеалов R. Поставим ему в соответствие множество P* = R\P, а P* поставим в соответствие P** = R\(R\P) = PPP**.

 Скачать реферат