Алгебраические системы замыканий

(X) = sup {(F) | FX, F конечно}.

Пусть K = {(F) | FX, F конечно} для фиксированного XA; тогда нужно показать, что sup K D. Отсюда будет следовать, что sup K = (X), поскольку sup K является наименьшим замкнутым множеством, содержащим все элементы множества X. Теперь для любых Y, ZA имеем

(Y)(Z)(Y Z),

и если Y, Z – конечные подмножества множества X, то Y Z также конечно. Это показывает, что K направлено, и, следовательно, sup K D, что и утверждалось. ▲

Используя предложение 2, получаем

Следствие 1. Если D – алгебраическая система замыканий на A и K – направленная подсистема системы D, то sup K D.

Доказательство:

∆ Из леммы Цорна вытекает, что каждая непустая индуктивная система подмножеств множества A содержит максимальное подмножество.

Это приводит к следствию 2 из теоремы 2, в котором содержатся наиболее важные применения леммы Цорна к алгебре.

Следствие 2. Пусть D – алгебраическая система замыканий в A, и пусть A0, A1, B – такие подмножества множества A, что BD и BA1 = A0. Тогда D содержит элемент C, который является максимальным в D относительно свойств CB, CA1 = A0.

Доказательство:

∆ Для доказательства этого утверждения возьмём систему D ' всех таких множеств XD, что XB и XA1 = A0, и покажем, что D ' обладает максимальным элементом. Во-первых, D ' ≠ , так как BD '. Пусть теперь (Xi) – некоторая цепь в D ' и положим X = sup Xi. Тогда XD, так как система D индуктивна. Далее XB и XA1 = A0; поэтому XD '. Таким образом, система D ' индуктивна, и по лемме Цорна D ' обладает максимальным элементом. ▲

§ 5. Задачи

Задача 1. Установить, что при соответствии Галуа XX*, YY* выполняется тождество (Xi)* = Xi*, для произвольных семейств подмножеств (Xi)iI.

Решение:

Без ограничения общности возьмём два множества X1 и X2 и покажем, что (X1X2)* = X1*X2*.

Множеству X1 поставим в соответствие множество X1*:

X1* = {y1B|(x1, y1)Ф для всех x1X1}.

Аналогично для множества X2:

X2* = {y2B|(x2, y2)Ф для всех x2X2}.

Пусть X3 =X1X2. Тогда (X1X2)* или X3* будет иметь следующую структуру: X3* = {y3B|(x3, y3)Ф для всех x3X3} или другими словами это такие y3 из B, что пары (x1, y3) и (x2, y3) должны принадлежать соответствию Ф одновременно для всех x1 и x2 из X1X2. То есть множество элементов y3 из B это множество, состоящее из элементов y1X1* и y2X2*, которые одновременно должны удовлетворять соотношениям (x1, y1)Ф, (x1, y2)Ф, (x2, y1)Ф, (x2, y2)Ф. То есть элементы y3 принадлежат пересечению множеств X1* и X2*, что и требовалось показать.

Задача 2. Пусть XH(X) – произвольное отображение множества B (A) в себя. Показать, что (X) = H(X)X определяет оператор замыкания тогда и только тогда, когда X(Y) влечёт (X)(Y).

Решение:

a) докажем прямое утверждение: если (X) = H(X)X определяет оператор замыкания тогда X(Y) влечёт (X)(Y).

Пусть X(Y), то есть XH(Y)Y. Так как по условию (Y) = H(Y)Y – оператор замыкания, то для него выполняются аксиомы J. 1 – J. 3. Применим аксиому J. 1 к XH(Y)Y и аксиому J. 3 к ((Y)):

 Скачать реферат