Алгебраические системы замыканий

Предложение 1. Если A – такое упорядоченное множество с наибольшим элементом, в котором каждое подмножество обладает точной нижней гранью, то A является полной решеткой.

Доказательство:

∆ Заметим, что если каждое подмножество точной нижней гранью обладает, следовательно, ей обладает и пустое множество, то есть в A существует наибольший элемент.

Требуется доказать, что A

– полная решетка, то есть любое непустое подмножество имеет наибольший и наименьший элемент.

Рассмотрим XA, Y – множество всех верхних граней множества X в A и положим y = inf Y. Тогда любой элемент из X будет нижней гранью множества Y и, следовательно, xy для любого xX; если также xz для любого xX, то zY и, следовательно, yz. Поэтому y = sup X. ▲

Определение 8. Упорядоченное множество (I,) называется направленным, если для любых i, jI существует такой элемент kI, что ik, jk, то есть для любого двухэлементного множества из I существует верхняя граница.

Предложение 2. Пусть A – упорядоченное множество; тогда следующие три условия эквивалентны:

(i) Каждое непустое направленное подмножество множества A имеет точную верхнюю грань.

(ii) Каждая непустая цепь множества A имеет точную верхнюю грань.

Доказательство:

∆ Каждая вполне упорядоченная цепь является цепью, и каждая цепь направлена, следовательно, (i)(ii); чтобы закончить доказательство, покажем, что (ii)(i). Возьмем максимальную цепь, в ней существует точная верхняя грань. Тогда по лемме Цорна и направленное подмножество множества A имеет точную верхнюю грань. ▲

Предложение 3 (лемма Цорна). Непустое упорядоченное множество, в котором каждая цепь обладает верхней гранью, имеет максимальный элемент, точнее для любого элемента a из A существует элемент ba, являющийся максимальным в A.

Лемма Цорна была предложена в 1935 году. Она часто заменяет рассуждения, основанные на таких эквивалентных ей принципах, как принцип максимальности Хаусдорфа, аксиома выбора, теорема Цермело о вполне упорядоченности.

Можно показать эквивалентность этих утверждений лемме Цорна, но мы не будем этого делать, так как это не является целью дипломной работы. Лемма Цорна принимается нами в качестве аксиомы.

§2. Связь систем замыканий с операторами замыкания

В параграфе 1 были даны определения систем замыканий и операторов замыкания. Между ними существует взаимосвязь. Сформулируем эту взаимосвязь в качестве теоремы и докажем её.

Теорема 1. Каждая система замыканий D на множестве A определяет оператор замыкания  на A по правилу

(X) = ∩{Y D | YX}.

Обратно, каждый оператор замыкания  на A определяет систему замыканий

D = {XA | (X) = X}.

Доказательство:

∆ 1) Пусть дана система замыканий D и оператор , определенный по правилу (X) = ∩{Y D | YX}. Докажем, что  – оператор замыкания. Для этого проверим выполнимость условий J. 1 – J. 3. Этот оператор удовлетворяет условиям J. 1 – 2 по определению. По условию, D – система замыканий. Тогда

(X) = XXD, (1)

так как (X)D, то отсюда вытекает J. 3.

2) Обратно, пусть задан оператор замыкания  (удовлетворяющий J. 1 – 3) и пусть

D = {XA | (X) = X}. (2)

Докажем, что D – система замыканий. Если (Xi)iI – произвольное семейство в D и ∩Xi = X, то XXi; следовательно, по J. 1. (X)(Xi) = Xi для всех i, и поэтому

(X)∩Xi = X.

Вместе с условием J. 2 это показывает, что (X) = X, то есть XD. Таким образом, с помощью  мы построили систему замыканий D.

3) Покажем, что соответствие D  взаимно однозначно.

Во-первых, пусть D – произвольная система замыканий,  – оператор, определенный равенством (X) = ∩{YD | YX} для всех XA, и D ' – система замыканий, определенная оператором  по формуле (2). Тогда D ' = D в силу (1). Возьмем затем произвольный оператор замыкания , и пусть D – система замыканий, определенная оператором  по формуле (2), а  ' – оператор, определенный системой D по формуле (X) = ∩{YD | YX}. Как только что было показано, D тогда также определяется оператором  ', и, следовательно,

(X) = X '(X) = X. (3)

В силу J. 3, (X) = (X); поэтому из (3) вытекает, что  '(X) = (X). Но X(X) и, применяя  ' получаем  '(X) '(X) = (X), а обратное включение следует из соображений симметрии. ▲

 Скачать реферат