Алгебраические системы замыканий

Отображение , при котором выполняются только аксиомы J. 1, J. 2, определим так. Пусть A = {a, b, c}, опишем оператор  следующим образом: каждому элементу поставим в соответствие множество, состоящее из самого этого элемента и элемента, находящегося рядом с ним. Пустое и само множество A при этом отображении переходят в себя:

, AA;

{a}{a, b}, {b}A, {c}{b, c};

{a, b}A, {a, c}A, {b, c}A.

Очевидно, что первая и вторая аксиомы выполняются, а третья не выполняется, так как (a) = A≠{a, b} = (a).

Пример отображения, при котором не выполняется только аксиома J. 2 следующий. Пусть A = {a, b, c}. Отображение  зададим так: пустое, все двухэлементные подмножества и само множество A переходят в себя, а всем одноэлементным подмножествам поставим в соответствие множество A:

, AA;

{a}A, {b}A, {c}A;

{a, b}{a, b}, {a, c}{a, c}, {b, c}{b, c}.

Очевидно, что аксиома J. 2 не выполняется, так как {a}{a, b}, но ({a}) = A{a, b} = ({a, b}).

Следовательно, мы показали, что система аксиом J. 1 – J. 3 будет независима.

Одним из видов операторов замыкания является алгебраический оператор замыкания. Дадим определение.

Определение 6. Оператор замыкания  на множестве A называется алгебраическим, если для любых XA и aA

а(X) влечет a(F)

для некоторого конечного подмножества F множества X.

С определением алгебраического оператора замыкания тесно связано понятие алгебраической системы замыканий.

Определение 7. Система замыканий D на множестве A называется алгебраической, если соответствующий оператор замыкания  является алгебраическим, то есть для любого XA

a{ D D : X D} влечёт a{ D D : F D}

для некоторого конечного FX.

Приведём один из наиболее важных примеров оператора замыкания, который широко применяется в топологии. Этот оператор ставит в соответствие каждому подмножеству X топологического пространства A его замыкание.

Пример 1.2: Пусть – топологическое пространство. Введем на множестве A отображение , заданное следующим образом: X[X], где [X] – замыкание множества XA. Покажем, что – оператор замыкания на множестве A.

Для этого проверим выполнимость свойств J. 1 – J. 3.

1) Если XY, то [X][Y].

Возьмем x0[X]. Тогда любая окрестность точки x0 содержит точки множества Xв любой окрестности точки x0 содержатся точки множества Yx0[Y].

2) X[X].

Каждая точка множества является его точкой прикосновения. Значит, каждая точка множества X лежит и в [X].

3) [[X]] = [X]. Докажем методом двойного включения.

a) [X][[X]]. Доказано во втором пункте.

b) x0[[X]]Возьмем U (x0), для неё y0U (x0)[X]y – точка прикосновения множества XU (y0) найдутся точки множества X. Возьмем U (y0)U (x0), z0U (y0)X. Отсюда z0U (x0)X. Тогда x0 – точка прикосновения множества Xx0[X]. Таким образом, [[X]][X].

Пример 1.3: Каждому множеству X точек плоскости A = R2 поставим в соответствие его выпуклую оболочку . Ясно, что Xоператор замыкания на множестве A.

 Скачать реферат