Страница
9

Модель распределения ресурсов

При этом может быть получен максимальный доход, равный Zmax=99,l. Прямой подсчет дохода по табл. 2 для найденного оптимального управления дает 97,2. Расхождение в результатах на 1,9 (около 2%) объясняется ошибкой линейной интерполяции.

Мы рассмотрели несколько вариантов задачи оптимального распределения ресурсов. Существуют другие варианты этой задачи, особенности которых учитываются соот

ветствующей динамической моделью.

2.4 Учет последействия в задачах оптимального распределения ресурсов

При постановке задачи оптимального распределения ресурсов мы предполагали, что доход на каждом шаге от всех предприятий и максимальный доход , начиная с k-го шага до конца планового периода, зависели только от состояния системы к k-му шагу и от управления на этом шаге, но не зависели от того, каким образом распределялись средства между предприятиями на предыдущих шагах. Однако во многих задачах оптимального распределения средств доход, полученный на k-м шаге, может оказаться зависимым и от того, какие средства и в каком количестве выделялись каждому из предприятий на предыдущих шагах, т. е. от предыстории процесса.

Таким образом, нарушается одно из условий, предъявляемых к задачам оптимизации, для того чтобы их можно было описать моделью ДП. Чтобы учесть предысторию процесса распределения ресурсов, можно увеличить число параметров состояния на каждом шаге, искусственно включив в число фазовых координат все управляющие параметры: предшествующих шагов, которые определяют последействие. Если число таких параметров велико, то схема ДП усложняется настолько, что становится практически неприменимой. В случае если размерность искусственного фазового пространства не превышает 3-4, то задачу можно решить вручную или (для большого числа шагов n) на машине.

Рассмотрим модель задачи оптимального распределения ресурсов с последействием, аналогичную задаче 2.

Задача 5. Начальные средства распределяются между двумя предприятиями в течение n лет. Доход, полученный в конце k-го года от предприятий I и II, зависит от средств и , выделенных соответственно в предприятия I и II в k-м году, и от суммы всех вложенных в предприятия I и II средств соответственно за предыдущие k—1 лет. От этих же факторов зависит и величина средств, которые возвращаются в конце каждого года и перераспределяются в очередном плановом периоде. Новые средства не поступают, доход в производство не вкладывается.

Требуется найти оптимальный способ распределения ресурсов между предприятиями I и II на n лет.

Обозначим через , функции дохода, а через и — функции возврата средств для предприятии I и II соответственно.

Состояние системы в конце k-го шага удовлетворяет уравнению

, (2.11)

а доход, полученный на k-м шаге от двух предприятий, равен

. (2.12)

Величины (2.11) и (2.12) зависят не только от управления на k-м шаге, но и от всех управлении на предшествующих шагах (процесс распределения ресурсов обладает последействием).

Введем в рассмотрение две новые фазовые координаты:

, , (2.13)

полагая . Состояние системы к началу k-го шага характеризуется тремя параметрами: , , . Так как все наличные средства в k-м году полностью распределяются между предприятиями I и II, то .

Уравнение состояния имеет вид

(2.14)

а доход на k-м шаге равен

. (2.15)

Суммарный доход за n лет составляет

. (2.16)

Требуется найти неотрицательные переменные , обращающие в максимум функцию (2.16) и удовлетворяющие уравнениям (2.14) при начальных условиях , , .

Обозначим через условный максимальный доход, полученный за n—k+1 шагов, начиная с k-го до n-го включительно, при оптимальном распределении средств на этих шагах.

Функциональные уравнения (1.5) для имеют вид

;

. (2.17)

Решая последовательно уравнения (2.17) для , получим, как и выше, две последовательности значений и . Далее при начальных условиях , , , учитывая уравнение состояния (2.14), по цепочке получим оптимальное управление и :

 Скачать реферат