Системы эконометрических уравнений, их применение в эконометрике

Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена по-разному[4].

Возможна система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная y рассматривается как функция одного и того же набора факторов x: y1 = a11x1 + a12x2 +…+a1mxm+ e1, y2 = a21x1 + a22x2 +…+a2mxm+ e2 yn = an1x1 + an2x2 +…+anm xm+ en.

Набор факторов x1 в каждом уравнении может варьировать. Наприме

р, модель вида y1 = f (x1,x2, x3, x4, x5,);y2 = f (x1, x3, x4, x5,);y3 = f (x2, x3, x5,);y4 = f (x3, x4, x5,).

Также является системой независимых уравнений с тем лишь отличием, что набор факторов в ней видоизменяется в уравнениях, входящих в систему. Отсутствие того или иного фактора в уравнении системы может быть следствием как экономической нецелесообразности его включения в модель, так и несущественности его воздействия на результативный признак (незначимо значение t-критерия или F - критерия для данного фактора).

Каждое уравнение системы независимых уравнений может рассматриваться самостоятельно. Для нахождения его параметров используется метод наименьших квадратов по существу, каждое уравнение этой системы является уравнением регрессии. Поскольку никогда нет уверенности, что факторы полностью объясняют зависимые переменные, в уравнениях присутствует свободный член a0. Так как фактические значения зависимой переменной отличаются от теоретических на величину случайной ошибки, в каждом уравнении присутствует величина случайной ошибки.

В итоге система независимых уравнений при трех зависимых переменных и четырех факторах имеет вид: y1 = a01 + a11x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 + e1,y2 = a02 + a21x1 + a22 x2 + a23 x3 + a24 x4 + e2,y3 = a03 + a31x1 + a32 x2 + a33 x3 + a34 x4 + e3.

Однако если зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде фактора х в другом уравнении, то исследователь может строить модель в виде системы рекурсивных уравнений[5]: y1 = a11x1 + a12 x2 + … + a1m xm + e1,y2 = b21y1 + a21x1 + a22 x2 + … + a2m xm + e2,y3 = b31y1 + b32y2 + a31x1 + a32 x2 + … + a3m xm + e3, yn = bn1y1 + bn2y2 + bnn-1yn-1 + an1x1 + an2 x2 + … + anm xm + en.

В данной системе зависимая переменная у включает в каждое последующее уравнение в качестве факторов все зависимые переменные предшествующих уравнений наряду с набором собственно факторов х. Примером такой системы может служить модель производительности труда и фондоотдачи вида

y1 = a11x1 + a12 x2 + a13 x3 + e1,y2 = b21y1 + a21x1 + a22 x2 + a23 x3 + e2

где у1 - производительность труда;

у2 - фондоотдача;

х1 - фондовооружонность труда;

х2 - энерговооружонность труда;

х3 - квалификация рабочих.

Как и в предыдущей системе, каждое уравнение может рассматриваться самостоятельно, и его параметры определяются методом наименьших квадратов.

Наибольшее распространение в эконометрических исследованиях получила система взаимозависимых уравнений. В ней одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях - в правую часть системы: y1 = b12* y2 + b13* y3 +… + b1n * yn + a11 * x1 + a12 * x2 +…+ a1m xm + e1,y2 = b21* y1 + b23* y3 +… + b2n * yn + a21 * x1 + a22 * x2 +…+ a2m xm + e2, yn = bn1* y1 + bn2* y2 +… + bnn-1 * yn-1 + an1 * x1 + an2 * x2 +…+ anm xm + en.

Система взаимозависимых уравнений получила название система совместных, одновременных уравнений. Тем самым подчеркивается, что в системе одни и те же переменные у одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. В эконометрике эта система уравнений называется также структурной формой модели. В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим. С этой целью используются специальные приемы оценивания.

Примером системы одновременных уравнений может служить модель динамики цены и заработной платы вида y1 = b12y2 + a11x1 + e1, y2 = b21y1 + a22x2 + a23 x3 + e2,

где у1 - темп изменения месячной заработной платы ;у2 - темп изменения цен;х1 - процент безработных;х2 - темп изменения постоянного капитала;х3 - темп изменения цен на импорт сырья.

В рассмотренных классах систем эконометрических уравнений структура матрицы коэффициентов при зависимых переменных различна.

Представим систему эконометрических уравнений в матричном виде:

BY + ГX = E,

где В - матрица коэффициентов при зависимых переменных;

Y - вектор зависимых переменных;

Г - матрица параметров при объясняющих переменных;

Х - вектор объясняющих переменных;

Е - вектор ошибок.

Если матрица В диагональная, то рассматриваемая модель является системой независимых уравнений. Так, при трех зависимых и трех объясняющих переменных модель имеет вид: y1 = a01 + a11x1 + a12 x2 + a13 x3 + Е1,y2 = a02 + a21x1 + a22 x2 + a23 x3 + Е2,y3 = a03 + a31x1 + a32 x2 + a33 x3 + Е3.

Если матрица В треугольная (или может быть приведена к такому виду), то модель представляет собой систему рекурсивных уравнений. Так, если модель имеет вид: y1 = a01 + a11x1 + a12 x2 + Е1,y2 = a02 + b21y1 + a21 x1 + a23 x2 + Е2,y3 = a03 + b32y2 + a31 x1 + a32 x2 + Е2.

Т.е. зависимая переменная у1 первого уравнения участвует как объясняющая переменная во втором уравнении системы, а зависимая переменная у2 второго уравнения рассматривается как объясняющая переменная в третьем уравнении.

Если матрица В не является ни диагональной, ни треугольной, то модель представляет собой систему одновременных уравнений. Так, для модели вида y1 = a01 + b12y2 + a11x1 + a12 x2 +Е1,y2 = a02 + b21y1 + b23y3 + a23x3+ Е2,y3 = a03 + b31y1 + a32x2 + a33x3+Е3.

1.3 Применение систем эконометрических уравнений

Применение систем эконометрических уравнений представляет собой непростую задачу.

Проблемы здесь происходят из-за ошибок спецификации. Основной областью применения эконометрических моделей является построение макроэкономических моделей экономики целой страны. Это, главным образом, мультипликаторные модели кейнсианского типа. Более совершенными по сравнению со статическими моделями являются динамические модели экономики, которые содержат в правой части лаговые переменные и учитывают тенденцию развития (фактор времени). Значительные трудности создает невыполнение условия независимости факторов, которое в корне нарушается в системах одновременных (взаимозависимых) уравнений[6].

Использование корреляционно-регрессионного анализа в контексте структурного моделирования — это попытка подойти к выделению и измерению причинных связей переменных. Для этого следует сформулировать гипотезы о структуре влияний и корреляции. Такая система причинных гипотез и соответствующих взаимосвязей изображается графом, вершины которого — это переменные (причины или следствия), а дуги — причинные отношения. Верификация гипотез требует установления соответствия между графом и системой уравнений, описывающей этот граф.

Структурные модели эконометрики представляются системой линейных по отношению к наблюдаемым переменным уравнений. Если алгебраическая система соответствует графу без контуров (петель), то она является рекурсивной системой. Такая система позволяет рекуррентно определять значения входящих в нее переменных. В ней в уравнения для признака включаются все переменные, кроме тех, которые расположены выше него по графу. Соответственно формулировка гипотез в структуре рекуррентной модели довольно проста, при условии использования данных динамики. Рекурсивная система уравнений позволяет определить полные и частные коэффициенты влияния факторов. Коэффициенты полного влияния измеряют значение каждой переменной в структуре. Структурные модели позволяют оценить полное и непосредственное влияние переменных, прогнозировать поведение системы, рассчитывать значения эндогенных переменных.

 Скачать реферат