Прикладной системный анализ - сетевой анализ и календарное планирование проектов, метод прогнозного графа

p(Эр Ú Эl) =

p(Эl) в противном случае.

Заметим , что усреднение начинается с тех пар экспертов , которые имеют максимальное значение условных взаимных вероятностей (среди равнозначных порядок безразличен).

Значение p Э рVЭ l и Vp Vl рассматривается как данные нового эксперта (вероятность и вес эксперта). Оценка p(Эр Ú Эl) служит для переноса ранее полученных значений у

словных вероятностей на нового эксперта. Оба первичных эксперта из процедуры исключаются. Если после проведения всех усреднений остается один эксперт, то значение p Э рVЭ l , полученное после усреднения последней пары, присваивается p(Si). Если остается более одного эксперта, то оценка p(Si ) вычисляется по формуле

r

p(Si ) = 1-П (1- pρ ),

ρ=1

где r - число оставшихся экспертов;

pρ - вероятности оставшихся экспертов (ρ = 1, 2, . . . ,r), что в предыдущих обозначениях соответствует рЭру Эl (не надо путать ее с оценкой p(Эp v Эl);

p(Si )- вероятность свершения события Si , анализируемого экспертами j (j=1, 2, . . . , ki ).

На практике при проведении экспертизы по методу прогнозного графа оказалось, что экспертам довольно трудно осуществить оценку вероятности, поэтому было признано целесообразным перейти к одной оценке — по времени, сделав оценку производной от него.

Для каждой цели Si(i=l,2, .,т+п) находится экспериментальный закон распределения вероятности Pi(t) ее достижения не позже, чем на время t (считая от настоящего момента).

С этой целью должна быть решена система уравнений

где pi (t) — закон распределения вероятности достижения цели S к времени t;

pijr(t) — закон распределения вероятности времени достижения промежуточных целей Sir, входящих в ij предпосылки цели Si;

tij — относительная оценка времени свершения целей при условии выполнения ij предпосылок;

i = 1, 2, ., (m + n) (m + n — количество событий в графе);

j =1, 2, . . ., Ri (Ri — количество экспертов, участвующих в оценке цели);

r=1, 2, . , пj (пj — число промежуточных целей, входящих в предпосылку ij);

δij = βij - γij — вес соответствующего предсказания;

βij — оценка собственной компетентности эксперта;

γij — степень уверенности в прогнозе.

Суммы в числителе и знаменателе распространены на всех экспертов, принимавших участие в оценке цели Si. Граф соподчиненности называется правильным, если из этой системы уравнений однозначным образом могут быть найдены все функции pi (t).

Так, в частности, будет, если все цели разбиваются на непересекающиеся классы k0, k1, ., ki таким образом, что предпосылки ij для цели Si из некоторого класса kr (r=0,1, .,l) могут состоять лишь из целей, принадлежащих kp<p<_r. Для класса k0 это означает, очевидно, отсутствие каких-либо предпосылок. Зависимость pijr(t - tij) определяют исходя из абсолютных оценок вероятности свершения, которые задаются для заземленных событий (класса k0). Данное уравнение для событий этого класса приобретает форму:

где Q(x) — функция, равная нулю при отрицательных значениях аргумента и равная единице при нулевом или положительном аргументе.

Член δijQ(t - tij) появляется в сумме всякий раз, когда эксперт j дает оценку времени tij достижения цели Si, не сопровождая ее никакими условиями (с пустой предпосылкой ij).

Оценки времени в прогнозах обычно даются лишь целыми числами (дней, месяцев или лет). При этом функцию распределения pi (t) удобно задавать векторами pi (1), pi (2), ., pi (τ), где τ — первое значение tij , для которого pi (t) достигает максимального значения (обычно это значение равно единице).

Для найденных экспериментальных распределений находятся обычные статистические характеристики: средние значения (или медианы), среднеквадратичные отклонения (или квартили). Так как распределение несимметрично, в ряде случаев необходимо рассматривать левые и правые среднеквадратичные отклонения.

Среднее значение для распределения pi(t) вычисляется по формуле

∞

Ei = ∑ τ (pi (τ) - pi (τ - 1)),

τ =1

Для нахождения медианы Mi и расстояний от медианы до квартилей pi ' и qi" предполагается, что между указанными значениями в целочисленных точках функции распределения меняются по линейному закону.

Мерой уточнения прогноза по какой-либо цели Si может служить абсолютная величина приращения какой-либо меры разброса распределения pi(t) , например его среднеквадратичного отклонения σi. Минимальный разброс получается, если распределение pi(t) заменить распределением p'i(t)=Q(t — Ei), т. е. таким распределением, что pi'(t)=0 при t< Ei и pi'= 1 при t ≥ E.

Коэффициентом информационной значимости цели Si служит величина

где Disk — приращение, получаемое среднеквадратичным отклонением распределения pk(t) при замене распределения pi(t) на распределение

p'i (t) =Q(t - Et).

Сумма берется по всем конечным целям.

К понятию информационной значимости приближается понятие важности (по срокам) промежуточной цели. Коэффициентом важности (по срокам) цели t называют величину

где ak — относительный вес конечных событий,

DiEk — приращение математического ожидания времени достижения Sk – й (конечной) цели при условии сдвига на одну единицу влево распределения pi(t), т. е. при замене функции pi(t) функцией pi(t+1).

Приведенные коэффициенты имеют большое значение при переводе прогнозов в план. Планом достижения цели является любой подграф прогнозного графа, построенный следующим образом: первая вершина плана — цель Si ; далее выбирается одна из предпосылок ij; Si1, Si2, ., Sinj и для каждой из них повторяется тот же процесс, что и для вершины Si, пока не перестанут получаться новые вершины. Все построенные таким образом вершины (кроме Si) называют промежуточными целями данного плана.

Поскольку в общем случае цель может обладать многими планами для ее достижения, то на множество планов для достижения любой данной цели вводят понятие близости, определив тем или иным методом расстояние между планами. В работе дается одно из возможных определений: расстояние z (А1,A2) между двумя планами А1 и А2 принимается равным

z(А1 , А2) = 1 – N1 / N2 ,

где N1 — число элементов в пересечении множеств целей планов А1 и А2;

N2 – число элементов в их объединении.

Получив близкие планы, производят повторную экспертизу, направленную на то, чтобы сделать их полностью совпадающими. Если в результате подобных действий для какой-нибудь конечной цели удалось получить единственный план, то можно принять его в качестве обобщенного сетевого графика для организации фактической работы (достижения данной цели).

 Скачать реферат