Использование модели экономического цикла Самуэльсона-Хикса

В периоде 1 национальный доход увеличился на величину прироста автономных инвестиций (ΔI1a = 12) и составил 132. Данное обстоятельство привело в периоде 2 к увеличению объема совокупного потребления до 79,2 и к появлению индуцированных инвестиций в размере 8,4. Это означает, что здесь действуют и мультипликатор и акселератор.

В периоде 3 объем производных инвестиций достиг максимальн

ого значения (Itин= 10,9), поскольку в предыдущем периоде произошел максимальный прирост национального дохода (Δу2 = y2 - y1 = 15,6). В дальнейшем (периоды 4 и 5) величина индуцированных капиталовложений уменьшалась из-за падения темпов прироста национального дохода в периодах 3 и 4. Более того, начиная с периода 6, производные инвестиции приняли отрицательное значение. Это объясняется снижением уровня дохода в предшествующем периоде (I6ин = -1,7, поскольку Δу5 = y5 - y4 = 15,6). Совокупное потребление продолжало возрастать и в периоде 5 достигло максимальной величины (98,4), поскольку в предыдущем периоде национальный доход был максимален (164). В дальнейшем, с 6 по 10 период происходило снижение объема потребления.

Табличные данные отражают затухающие колебания национального дохода, совокупного потребления и производных инвестиций. Если бы действовал только один мультипликатор, то при данном варианте автономного инвестирования система устремилась бы к новому равновесному состоянию. Подключение акселератора привело к волнообразным колебаниям экономической системы.

В данном числовом примере мультипликатор и акселератор фигурируют в качестве постоянных величин. В реальной экономической жизни не существует постоянных коэффициентов мультипликации и акселерации в силу действия таких переменных факторов, как научно-технический прогресс, сальдо торгового баланса, товарные запасы, степень монополизации производства и т. д.

1.3 Линейные конечно-разностные уравнения и их применение в экономике

Динамика объектов различной природы часто описывается уравнениями вида

xt = F(xt-1, xt-2, . , xt-n),(7)

связывающими состояние объекта xt в любой момент времени t с состояниями в предшествующие моменты времени. Решение уравнения (7) n-го порядка определено однозначно, если заданы n так называемых начальных условий. Обычно в качестве начальных условий рассматриваются значения xt при t = 0, 1, ., n - 1.

Подставляя начальные значения xn-1, . , x1, x0 и t = n в качестве аргументов функции в правой части (7), находим xn; используя найденное значение и подставляя теперь xn, xn-1, . , x2 x1 и t = n + 1 в качестве аргументов функции, находим xn+1, и т.д. Процесс может быть продолжен до тех пор, пока не будут исчерпаны все представляющие интерес значения t.

В модели экономических циклов Самуэльсона-Хикса используются конечно-разностные уравнения вида xt = a1xt-1 + a2xt-2 + f(t) - линейные конечно-разностные уравнения второго порядка, являющиеся частным видом уравнения (7). Они называются однородными, еслиf(t) = 0 при любых t, неоднородными - в противном случае. И для нахождения, и для исследования свойств решения однородного уравнения

xt = a1xt-1 + a2xt-2 ,(8)

используется так называемое характеристическое уравнение

- a1 - a2 ,(9)

Обозначим его корни 1, 2 и запишем

В теории конечно-разностных уравнений[4] доказывается, что при 1 2 решение уравнения (8) описывается равенством

, (10)

где A1 и A2 - постоянные, определяемые начальными условиями.

Если же 1 = 2 = , то решение имеет вид

, (11)

Решение уравнения (8) зависит от значения дискриминанта характеристического уравнения (9).

Рассмотрим возникающие при этом случаи.1. D > 0. Характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня. Решение описывается равенством (10); если оба корня положительны, то обе компоненты решения - монотонные геометрические прогрессии. Если имеются отрицательные корни, то каждому из них отвечает знакочередующаяся составляющая решения (10).2. D = 0. Характеристическое уравнение имеет совпадающие вещественные корни, и решение имеет вид (11).

3. D < 0. Характеристическое уравнение имеет пару сопряженных комплексных корней: 1,2 = i .

Равенство (10) при этом справедливо, но неудобно для использования, так как вещественный процесс при этом описывается как сумма комплексных составляющих. Более удобную форму решения можно получить, используя тригонометрическое представление корней: 1,2 = g(cos sin), где Такое представление позволяет описать решение уравнения (8) равенством

, (12)

где B1 и B2 - постоянные, определяемые начальными условиями.

Таким образом, при D < 0 решение носит характер колебаний, амплитуда которых возрастает (при g > 1) или убывает (при g < 1);

Решение уравнения (8) называют равновесным, если значение xt не изменяется во времени. Подстановкой в уравнение (8) можно убедиться, что xt = 0 есть равновесное решение. Равновесное решение называется устойчивым, если xt 0 при t ; в противном случае оно называется неустойчивым. Равенства (10) и (11) показывают, что решение будет устойчивым в том и только в том случае, если оба корня характеристического уравнения по модулю меньше единицы. В случае D < 0 условию устойчивости соответствует g < 1, так как при этом необходимым и достаточным условием устойчивости является a2 > -1. По теореме Виета 12 = -a2, так что условие a2 > -1 необходимо и в случае D > 0, но здесь оно не является достаточным. Система неравенств

 Скачать реферат