Методика формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства в курсе алгебры и начал анализа

;

Нужно помнить, что при ;

;

.

Уравнение вида .

(рис 1, и)

Нужно помнить, что при ; ;

Уравнение вида .

(рис 1, к)

Нужно помнить, что при ; ;

;

Уравнения, сводящиеся к простейшим, имеют вид , , , .

Данные уравнения также являются простейшими и решаются сначала относительно f(x), а затем полученные уравнения решаются относительно х.

Примеры:

1. ;

2.

3.

1.4.2 Уравнения, являющиеся равенством двух одноимённых тригонометрических функций:

а) уравнения вида равносильно совокупности уравнений:

б) уравнения вида равносильно системе уравнений:

в) уравнения вида равносильно системе уравнений:

Примеры:

1. Решите уравнение:

2. Решите уравнение:

1.4.3 Тригонометрические уравнения, содержащие одну и ту же функцию одного и того же аргумента и решаемые методом подстановки

Уравнения данного вида , где тригонометрическая функция часто называются сводящимися к квадратным и решаются методом подстановки вместо тригонометрической функции данного аргумента некоторого параметра t с учётом допустимых значений t в зависимости от области значения функции.

Пример: Решите уравнение:

Пусть тогда уравнение примет вид:

Оба корня уравнения удовлетворяют условию допустимого значения t, следовательно, переходим к обратной замене.

[29]

1.4.4 Однородные уравнения

Предварительно можно показать учащимся вид однородной функции от двух переменных U и V первой степени, например, 3U + 2V; второй степени: ; третьей степени: и т.д., сформировав понятия выражения, однородного относительно переменных U и V.

Для лучшего усвоения и закрепления идеи необходимо решить с учащимися следующее уравнение:

.

Обозначим

Получается однородное уравнение второй степени:

;

Имеем 2 случая: U = V или V = 0,5 U

Как правило, на практике очень часто встречается .

Примеры:

1. .

Это однородное уравнение первой степени. Обе части уравнения нужно разделить на cosx. При этом получится равносильное уравнение. Чтобы в этом удостовериться, покажем, что уравнение cosx = 0 не содержит корней данного уравнения.

Действительно, если

, то .

Но это невозможно, т.к. .

Следовательно, имеем равносильное уравнение

2. .

Это однородное уравнение второй степени. Получим равносильное уравнение после деления обеих частей уравнения на .

[5, c.9]

1.4.5 Уравнения, решающиеся разложением на множители

При решении уравнений такого типа необходимо пользоваться известным правилом: произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

Примеры:

1.

Используя данное правило получим:

 Скачать реферат