Гипергеометрическое уравнение

4. Мы покажем, что F и любые две смежные функции связаны между собой рекуррентным соотношением с коэффициентами, являющимися линейными функциями переменного z. В качестве основных соотношений этого типа могут быть выбраны равенства (2.4), (2.5), (2.6) соответственно.

(--)F+(1-z)F(+1)-(- )F(-1)=0,

(--1)F+F(+1)-(- 1)F(-1)=0,

(1-z)F-F(-1)+(- )F(+1)=0.

Подставляя ряд (1.1) в (2.4) имеем (2.4)

(--)F+(1-z)F(+1)-(- )F(-1)=

=(--)+(1-z)-(-

)=

={(--)+-(- )-

}zk=

={(--)(+k-1)+(+k)(+k-1)-(-)(-1)- ----

(-k-1)k} zk=0,

так как

z==

=(+1) .( +k-1)

=(+1) .( +k-1)( +k)

=(-1) (+1) .( +k-2)

=(+1)…( +k-2)

= (+1)…( +k-2) ( +k-1)

=(-1) (+1) .( +k-3)

Формулы (2.5) и (2.6) доказываются аналогичным способом:

(--)F+F (+1)-(- 1)F(-1)=

={ (--1) +-(- 1)=

 Скачать реферат