Гипергеометрическое уравнение

z(1-z)(zk+s-1(k+s)(k+s-1))+[-(++1)z](zk+s-1(k+s))-

zk+s=

=(zk+s-1(k+s)(k+s-1))-(zk+s(k+s)(k+s-1))+(zk+s-1(k+s))-

-zk+s(++1)(k+s))- zk+s=

=zk+s-1(k+s)(k+s-1+)-zk+s(s+k+)(s+k+)=0,

откуда для определения показателя s и получается система уравнений

s(s-1-)=0,

(s+k)(s+k-1+) - (s+k-1+)(s+k-1+)=0,

k=1,2,…,

первое из которых дает s=0 или s=1-

1) Предположим, что 0,-1,-2,… и выберем s=0

Тогда для вычисления коэффициентов получим реккурентное соотношение

=k=1,2,…,

откуда, если принять =1, следует

=k=0,1,2,…,

где для сокращения записи введено обозначение

=(+1)…( +k-1),

=1, k=1,2,…,

Таким образом первое частное решение уравнения (2.16) при 0,-1,-2,… будет

u== F(, , ,z)= zk, <1 (2.18)

2) Аналогично, выбирая s=1-получаем в предположении, что 2,3,4,…

=k=1,2,…,

откуда, если взять =1 находим

=

k=0,1,2,…,

Таким образом, при 2,3,4,… уравнение (2.16) имеет второе частное решение

u== =F(1-+,1-+,2-,z), (2.19)

<1,

3) Если не является целым числом (0,1, 2,…), то оба решения (2.18-2.19) существуют одновременно и линейно независимы между собой, так, что общее решение уравнения (2.17) может быть представлено в форме

 Скачать реферат