Гипергеометрическое уравнение

u=A F(, , ,z)+BF(1-+,1-+ ,2- ,z), (2.20)

где А и В произвольные постоянные <1,

2. Представление различных функций через гипергеометрическую

Гипергеометрическая функция F(, , ,z) приводится к полиному, когда =0,-1,-2,… или =0,-1,-2. Например,

F(, 0, ,z)= zk==1,

так как

=0(0+1)(0+2)… (0+k-1)=0.

F(, -2, ,z)= zk=z0+z+z2 =

=1-2z+z2,

так как

=1, =-2,

=(-2)(-1)=2, =(-2)(-1)0=0, =(-2)(-1)01=0

и так далее.

Преобразование

F(, , ,z)=(1-zF(-,-, ,z)

-=0=

показывает, что гипергеометрическая функция при -=0,-1,-2,… или -=0,-1,-2,… выражается через алгебраические функции. В частности,

F(, , ,z)= (1-z, (3.1)

Придавая параметрам , специальные значения, находим

(1-z)v= F(-v, 1, 1,z)

(1-z= F(, 1, 1,z) (3.2)

(1-z)n= F(-n, , ,z)

n=0,1,2,…

Чтобы получить представление логарифмической функции, воспользуемся разложением

ln(1-z)= - =-z<1

откуда следует

ln(1-z)=-zF(1,1,2,z) . (3.3)

Аналогичным образом выводятся формулы для обратных круговых функций:

arctg z=zF(,1, ,-z2) (3.4)

arcsin z=zF(,, ,z2)

arctg z=(-1)k=z=z=

=z=z =z=zF(,1, ,-

 Скачать реферат