Гипергеометрическое уравнение

=

=F(<

img width=20 height=27 src="images/referats/7523/image027.png">, R(),R(),)

На основании известного биноминального разложения

=(1-tz)-a(1.3)

0t1,<1

поэтому для F(, , ,z) получается представление

F(, , ,z)= (1.4)

R()>R() >0 и <1

Покажем, что интеграл в правой части последнего равенства сохраняет смысл и представляет регулярную функцию комплексного переменного z в плоскости с разрезом (1, ).

Для z принадлежащих области , (R – произвольно большое, и произвольно малые положительные числа), и 0 < t < 1 подынтегральное выражение есть регулярная функция z и непрерывная функция t ; поэтому достаточно показать что интеграл сходится равномерно в рассматриваемой области. Доказательство следует из оценки

(М – верхняя граница модуля функции (1-tz)-a, непрерывной в замкнутой области , , 0t 1), которая показывает, сходимость интеграла будет мажорированной, то есть при R()>R() >0 интеграл сходится.

Таким образом, условие <1 в (1.4) может быть отброшено, и искомое аналитическое продолжение гипергеометрической функции в разрезанную плоскость дается формулой

F(, , ,z)= (1.5)

R()>R() >0;

В общем случае, когда параметры имеют произвольные значения, аналитическое продолжение F(, , ,z) плоскость с размером (1, ) может быть получено в форме контурного интеграла, к которому приводит суммирование ряда (1.1) с помощью теории вычетов.

Более элементарный метод продолжения, не дающий, однако, возможность получить в явной форме общее аналитическое выражение гипергеометрической функции, заключается в использовании рекуррентного соотношения (1.6)

F(, , ,z) = +

справедливость которого может быть установлена подстановкой в него ряда (1.1). После подстановки и приведения подобных членов коэффициент при zk в правой части (1.6) будет

+- = ={--}= =(

Путем повторного применения этого тождества можно представить функцию F(, , ,z) с произвольными параметрами (0,-1,-2,…) в виде суммы

F(, , ,z)= F(+s, +p, +2p, z) (1.7)

 Скачать реферат