Статистическая механика классических систем

Подставляя (8.7) в (8.6) получаем выражение для числа квантовых состояний в элементе фазового пространства.

Тогда статистическая сумма по микроскопическим состояниям n в квазиклассическом пределе можно записать в виде интеграла по фазовому пространству (p,q): > (8.8)

Здесь - гамильтониан системы, а величина с учетом тождественности частиц имеет вид:

(8.9)

Сомножитель также введен в силу принципа тождественности. Дело в том, что перестановка любых двух частиц в классическом случае характеризует различные состояния. В то же время, перестановка двух частиц с точки зрения квантовой теории характеризует одно и тоже состояние. Это связано с принципиальной неразличимостью (тождественностью) одинаковых частиц. По этой причине в (8.8) и вводится множитель, обратный числу перестановок.

Каноническое распределение в классическом процессе записывается как вероятность обнаружить микроскопическое состояние классической системы, расположенное в бесконечно малом 6N-мерном объеме около точки (p,q):

Свободная энергия F, как и ранее, определяется из соотношения:

Далее рассмотрим как изменяется большое каноническое распределение. Вначале рассмотрим переход к классическому случаю выражение большой канонической суммы . Здесь сохраняется суммирование по числу частиц:

, (8.11)

Тогда вероятность обнаружить термодинамическую систему, выделенную воображаемыми стенками, состоящую из N частиц, и находящихся в объеме 6N-мерного фазового пространства будет равна:

(8.12)

Распределение (8.12) представляет собой классический аналог большого канонического распределения Гиббса. Как и для свободной энергии, переход к классическому случаю сохраняет вид термодинамического потенциала :

.

Кроме того, для распределения (8.12) вводится условие нормировки, предусматривающее суммирование по числу частиц:

(8.13)

Смысл условия (8.13) заключается в том, что вероятность при заданных параметрах () найти термодинамическую систему, число частиц в которой может принимать значения от 0 до , где-то в фазовом пространстве, равной единице.

Для перехода к классическому варианту микроканонического распределения необходимо ввести явный вид функции . Будем предполагать, что она имеет вид:

Одним из способов такого задания функции является:

(8.14)

Здесь - дельта-функция Дирака. Тогда классический вариант микроканонического распределения Гиббса имеет вид:

(8.150

Здесь через Г обозначен статистический вес:

(8.16)

Физической интерпретацией выражения (8.16) является определенный с точностью до постоянного компонента объем слоя 6N-мерного фазового пространства (p,q), заключенного между энергетическими гиперповерхностями и .

Несмотря на эквивалентность всех формализмов равновесной статистической механики, наибольшее распространение в классической теории получило каноническое распределение Гиббса и статистический интеграл . Это связано с удобством применения указанного распределения.

2. Как отмечалось раньше, гамильтониан классической нерелятивистской системы равен:

, (8.17)

причем, зависимость T(p) не зависит от вида потенциала взаимодействий U(q). Тогда распределение по импульсам также не зависит от вида потенциалов.

Подставляя (8.17) в (8.10), получаем:

Выполняя в последнем равенстве интегрирование по координатам всех частиц, получаем распределение по импульсам:

(8.18)

Таким образом, из (8.18) следует мультипликативность распределения по импульсам в классической равновесной системе. Величина учтена при записи константы.

Мультипликативность распределения по импульсам приводит к тому, что оно распадается на произведение одинаковых распределений по импульсам каждой частицы:

(8.19)

Учитывая связь квадрата импульса частицы с компонентами вдоль каждой из координат: , получаем:

(8.20)

Тогда

, , (8.21)

Коэффициенты С1, С2 и С3 в (8.21) определяется из условий нормировки

(8.22)

Выполняя интегрирование в (8.22) и учитывая свойства интеграла Пуассона, получаем:

.

Подставляя полученный результат в (8.21) и учитывая (8.20) получаем распределение по импульсам частицы:

(8.23)

Выражение (8.23) может быть записано относительно скорости движения частиц (распределение по скоростям):

 Скачать реферат