Экономико-математическое моделирование

Задача 1

Производственной функции Y = 40 (KL)0,4, где К – затраты капитала,

L – затраты труда, Y – объём выпуска продукции, Кmin = 10, Кmax = 27, Lmin = 13, Lmax = 32, Lбаз = 24, Yбаз = 439, рк = 14, рi = 11, С = 77.

Решение

1. Графики

2.

а) К = 0,5 (Кmin + Кmax) = 18,5

Y = 40 (18,5 L)0,4

б) L = 0,5 (13 + 32) = 22,5

Y = 40 (22,5 К)0,4

2. Функции среднего и предельного продукта

а) функции среднего продукта

Ак =

При L = 22,5 получаем Ак = 139/К0,6

АL = 40 К0,4 / L0,6

При К = 18,5 получаем АL = 128,5 / L0,6

б) Функции предельного продукта

Мк =

При L = 22,5 получаем Мк = 55,6 / К0,6

МL =

При К = 18,5 получаем МL = 5 / L0,6

Средняя производительность ресурса – это отношение значения объёма выпуска к объёму ресурса.

Предельная производительность ресурса – это частная эластичность по этому ресурсу.

При увеличении ресурса соответствующие величины убывают.

В методических указаниях написано, что их графики – гиперболы. Скорее всего, они походят на гиперболы, поскольку в математике под гиперболой понимается график зависимости у = а / х, а не у = а / х. В нашей задаче гиперболами будут изокванты.

3. Изокванты

Если у = const, то изоквантой называется линия 40 (КL)0,4 = у или просто KL = (у / 40)2,5 – гипербола.

Нам нужно нарисовать их при у = 129,6; 399; 864.

Через весь прямоугольник 10 ≤ К ≤ 27, 13 ≤ L ≤ 32

Проходит только центральная изокванта, а две другие задевают этот прямоугольник только в двух противоположных вершинах.

4. Предельные нормы замещения и эластичности. Эластичность производства

RKL = MK / ML = L / K

RKL (10; 13) = 1,3; RLK = 1 / RKL

RLK (10; 13) = 0,91

RKL (27; 32) = 1,19; RLK (27; 32) = 0,84

Например, RKL (10; 13) = 1,3 означает, что на соответствующей изокванте при уменьшении затрат ресурса К на одну единицу затраты ресурса L должны увеличиться ≈ на 1,3 единиц.

Эластичности

Ек = Мк / Ак = 0,4;

ЕL = МL / АL = 0,4.

Эластичность производства

Е = Ек + ЕL = 0,8

При малых изменениях ресурсов (по отдельности) увеличение объёма составит 0,4 увеличения ресурса.

5. Расчёт потребности в ресурсах

убаз = 439

Lбаз = 24

А) Определить Кплан по двум условиям:

∆Y / Yбаз * 100% = 10%

∆L / Lбаз * 100% = 5%

Решение.

∆у = 0,1 убаз = 43,9

уплан = 482,9

KL =

∆L ≤ 0,05 Lбаз = 24 * 0,05 = 1,2

К = 506,4 / L на изокванте

Если L возрастает от 24 до 25,2, то К убывает от 21,1 до 20,1

В) Определить Кплан по двум условиям:

∆у / убаз = 0,08

L = Lбаз

Решение.

∆у = 0,08 * 439 = 35,12

уплан = 474, 12

KL = 483,7

Кплан = 483,7 / 24 = 20,2.

6. Оптимизационная задача

рк = 14, рi = 11, С = 77

Y (K,L) = 40 (KL)0,4 → max

При условии 14 К + 11 L ≤ 77. Условный экстремум укажет функция Лагранжа.

F = (К, L, ) = 40 (KL)0,4 - (14 К + 11 L – 77)

Необходимые условия экстремума

принимают вид

откуда находим

К* = 11 / 4

L* = 7 / 2

Ymax = 99

7. Геометрическая интерпретация

KL = (у / 40)2,5

У = 99

L = 9,64 / К

К* = 2,75

L* = 3,5

Задача 2

Понадобилась фиктивная работа R нулевой продолжительности

Критические пути:

1) V, Q, B, R; 2) V, Q, H, D, R.

Стоимость всего комплекса работ при нормальных условиях 1210,5 млн. р.

Ткр = 64.

Сократить срок работы можно на 4 дня за счёт работ критических путей. Найдём нормы ускорения.

 Скачать реферат