Математические модели формирования и использования запасов

где – удельные расходы на хранение и иммобилизацию средств

[ руб./ ед. 60 минут].

Потери из-за отсутствия продукции, на которую предъявляются требования, или от дефицита считаем пропорциональными средней величине задолженных требований и времени их осуществления:

где — удельные издержки дефицита, т.е. потери, связанные с нехваткой единицы продукции в единицу времени.

Учитывая полученные выражения , и , получим формулу для общих издержек в системе в течении цикла :

отсюда удельные издержки за цикл составят:

Найдем оптимальные значения τ2* и τ3* из условия, что:

Условия (4-10) позволяют получить систему двух уравнений с двумя неизвестными и :

Обозначим и разделим первое из уравнений системы (4-11) на второе, найдем:

.

Откуда , и тогда

Подставив (4-12) в любое из уравнений системы (4-11), получим оптимальные значения:

Учитывая (4-13) и (4-14), из (4-5) получим оптимальные значения еще двух составляющих продолжительности цикла возобновления запасов:

Подставив τ2* и τ2* в формулы (4-5) и (4-4), получим оптимальные значения цикла повторения заказа и партии однопродуктовой поставки:

τц*=√ 2·K/(S·n)·√(1+ S / d)/ (1-n/l)= S1/B1 (4-17)

q* = √ 2·K·n/S·√(1+ S / d)/ (1-n/l)= S2/B1 (4-18)

Аналогично, подставив значения τ2* и τ3* из (4-13) и (4-14) в (4-9), определим оптимальные удельные издержки системы:

Lуд*=√ 2·K·n·S√ (1-n/l)/(1+ S / d)= √ 2·K·n·S· B1 (4-19)

И, наконец, находим оптимальные значения максимального уровня наличного запаса и задолженного спроса:

Y*= √ 2·K·n/S·√ (1-n/l)/(1+ S / d)= √ 2·K·n/(S · B1) (4-20)

y*= S / d·√ 2·K·n/S·√ (1-n/l)/(1+ S / d)= S / d·√ 2·K·n/(S · B1 ) (4-21)

Общие оптимальные издержки системы за время возобновления запаса составят:

Lобщ *= Lуд* ·τц* (4-22)

Модель с учетом неудовлетворенных требований при конечной интенсивности поступлений можно широко применять при:

1. управлении поставками материальных ресурсов;

2. определении оптимальной величины запуска деталей в производство с учетом переналадок на одном и том же технологическом оборудовании.

Во втором случае K – это издержки, связанные с переналадками. Предполагается, что они не зависят от величины выпускаемой партии и порядка запуска деталей в производство, l – интенсивность выпуска (производительность), τ1+ τ4 – время, затраченное на производство определенного типа изделий.

Из уравнений (4-13) – (4-22) можно получить ряд других частных моделей:

a) при большой интенсивности пополнения, когда вся заказанная партия поступает одновременно; это значит, что l>>n и тогда можно принять n/l®0.

b) при больших штрафах за допущение дефицита S/d®0, т.е. дефицит недопустим (d>>S).

c) когда пункты а) и b) действуют одновременно. т.е. n/l®0, S/d®0, тогда имеем:

q* = √ 2·K·n/S

τц*=√ 2·K/(S·n)

Lуд*=√ 2·K·n·S

Последняя модель в отечественной и зарубежной литературе получила название Уилсона.Применяя формулы (4-17) – (4-19), можно показать, что за счет разумного компромисса между затратами на содержание и потерями от дефицита можно уменьшить общие затраты в единицу времени в √1+S/d раз. При n/l®0 и высоких штрафах за дефицит рассматриваемая модель превращается в модель Уилсона.

1.2 Оптимальные партии поставки для многопродуктовых моделей

Также как и для однопродуктовых поставок, суммарные издержки от функционирования системы складываются из издержек размещения заказов, содержания запаса и убытков вследствие дефицита.

Суммарные издержки размещения заказа:

∑i Кi = К0(1+ γ·N)

где К0 – издержки, не зависящие от числа одновременно заказанных продуктов и размера партии поставки;

γ – доля издержек, учитывающая размещение заказа по каждому i-тому продукту;

N – число продуктов.

Правая часть формулы (4-23) используется для расчета оптимального поставочного комплекта. Если же рассчитываются оптимальные партии запуска деталей в производство, изготавливаемых на одном и том же оборудовании, тогда используется левая часть формулы (4-23), где Кi --издержки переналадок. Причем, Кi не зависят от последовательности запуска деталей в производство. Период возобновления заказов τц*одинаков для всех одновременно заказываемых N продуктов.

Для удельных издержек работы системы с учетом интенсивности поступления и потерь от дефицита (т.е. с учетом неудовлетворенных требований) справедлива формула:

Lуд = 1/ τц· ∑i Кi+0,5· τц·∑i[(1-ni / l i)/(1+ S i / d i)]

Взяв частную производную и приравняв к нулю ∂Lуд/∂ τц=0, получим:

τц* = √2· ∑i Кi / [∑i(S i·ni·(1-ni / l i)/(1+ S i / d i))]

Тогда можно найти оптимальные размеры партии запуска деталей в производство из формулы:

qi* = n i · τц*

Оптимальная величина удельных издержек, с учетом (4-24), составит:

Lуд * = √2· ∑i Кi · [∑i(S i·ni·(1-ni / l i)/(1+ S i / d i))] (4-27)

Минимизация издержек от переналадок достигается из условия:

∑i=1N(ni / l i)≤1 (4-28)

В общем случае ограничение по ресурсам можно отразить в формуле:

∑i aij · qi ≤ Aj, j=1,n (4-29)

где aij – расход соответствующего ресурса на единицу продукции;

 Скачать реферат