Основы теории вероятности

Рефераты / Математика / Основы теории вероятности

Р(А/Н2) = 17/20;

Р(А/Н3) = 16/20.

По формуле (4.1) имеем:

4.2 Формула Байеса (формула переоценки вероятности гипотез)

Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одной из гипотез (см п.4.1). Если событие А уже произошло, то вероят

ности гипотез могут быть переоценены по формуле Байеса:

(4.2)

Задачи

Задача №53. 70% населения обследуемого региона имеет только среднее образование, среди которых 10% безработных, 30% населения – с высшим образованием, среди них 2% безработных. Если выбранный наугад человек является безработным, то какова вероятность того, что он закончил ВУЗ?

Решение. В качестве гипотезы примем:

Н1 = {выбранный наугад человек со средним образованием};

Н2 = { выбранный наугад человек со высшим образованием }.

Р(Н1) = 0,7; Р(Н2) = 0,3.

Пусть соб. А = {выбранный наудачу человек безработный}, тогда

P(A/H1) = 0,1, P(A/H2) = 0,02.

Нужно определить P() по формуле (4.2).

Имеем:

Задача №54. На сборочный конвейер поступили детали с 3-х станков, производительность которых неодинакова: I-го – 50% плана, II-го – 30% плана, III-го – 20% плана. Вероятность получения годного узла равна 0,92, если деталь I-го станка, 0,95,если деталь со II-го станка, 0,82, если деталь с III-го станка. Определить вероятность того, что в сборку попали детали, изготовленные на первом станке, если узел годный.

Решение. А = { узел годный};

Н1 = {деталь с I-го станка};

Н2 = {деталь со II-го станка};

Н3 = {деталь с III-го станка};

Р(Н1)=0,5; Р(Н2)=0,3; Р(Н3)=0,2.

Р(А/Н1)=0,92; Р(А/Н2)=0,95; Р(А/Н3)=0,82.

Задача №55. 30% приборов собирают специалисты высокой квалификации, 70% - средней квалификации. Надёжность работы прибора, собранного специалистом высокой квалификации – 0,9, а специалистом средней квалификации – 0,8. Взятый наугад прибор оказался надёжным. Определить вероятность того, что прибор собран специалистом высокой квалификации.

Решение.

Пусть событие А = {прибор работает безотказно}.

До проверки прибора возможны 2 гипотезы:

Н1 = {прибор собран специалистом высокой квалификации};

Н2 = { прибор собран специалистом средней квалификации }.

Р(Н1) = 0,3, Р(Н2) = 0,7.

Условные вероятности события А равны:

P(A/H1) = 0,9, P(A/H2) = 0,8.

Пусть событие А произошло, тогда

Задача №56. Из 10 учащихся, которые пришли на экзамен по математике (нужно было подготовить 20 вопросов), трое подготовились на отлично (выучив по 20 вопросов), четверо – на хорошо, выучив по 16 вопросов, двое – на удовлетворительно, выучив по 10 вопросов, один не готовился и может ответить на 5 вопросов из 20. В билете 3 вопроса. Первый ученик ответил на все 3 вопроса своего билета. Какова вероятность того, что этот ученик подготовился на отлично?

Решение. Пусть событие А = {1-й ученик ответил на 3 вопроса} и гипотезы:

Н1 = {1-й ученик подготовлен на 5};

Н2 = {1-й ученик подготовлен на 4};

Н3 = {1-й ученик подготовлен на 3};

Н4 = {1-й ученик подготовлен на 2}.

P(H1) = 0,3; P(H2) = 0,4; P(H3) = 0,2; P(H4) = 0,1

P(А/H1) = 1 (событие {1-й ученик ответил на 3 вопроса, при условии, что он выучил 20 из 20}, является достоверным).

(вероятность правильного ответа на 1-й вопрос равна 16/20, на 2-й – 15/19, на 3-й – 14/18).

По формуле (4.2) имеем:

Вывод: учителю придётся предложить ученику ещё дополнительные вопросы.

Раздел 5. Случайные величины (с.в.)

5.1 Дискретные случайные величины

Дискретной случайной величиной называют случайную величину, возможные значения которой есть изолированные числа (число их может быть конечным или бесконечным для счетного множества).

Зависимость вероятностей от возможных значений с.в. есть закон распределения дискретной с.в., который может быть представлен в виде ряда распределения, многоугольника распределения, функции распределения с.в.

При этом название закона распределения диктует формула, по которой вычисляются вероятности, соответствующие возможным значениям С.В. Ниже приведены наиболее часто встречающиеся на практике:

§ биномиальный закон распределения дискретной с.в. X – числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p. Вероятность возможного значения Х= k по формуле Бернулли равна:

(5.1)

§ если n велико, а p в каждом испытании очень мало, то используется приближённая формула (распределение Пуассона):

, np (5.2)

Здесь

§ если вероятность появления события А в каждом испытании p (), а Х – число испытаний до появления события А в серии независимых повторных испытаний, то пользуются формулой:

(5.3)

Ряд вероятностей этого распределения будет бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем q<1 и суммой, равной единице. Такое распределение называется геометрическим;

§ в задачах статистического контроля качества часто используется гипергеометрический закон распределения дискретной с.в. При этом применяется формула:

(5.4)

Здесь из совокупности n элементов, которая содержит m элементов определённого свойства (напр., среди n деталей ровно m бракованных), отбираются случайным образом k элементов. P(X=l) – это вероятность того, что среди k отобранных элементов ровно l элементов с определённым свойством.

§ Кроме указанных законов распределения, на практике используются числовые характеристики с.в.:

- математическое ожидание M(X);

- дисперсия D(X);

- среднее квадратическое отклонение X).