Основы теории вероятности

Решение. Пусть А = {делегация состоит из 1-го первокурсника, 2-х второкурсников, 2-х третьекурсников}.

Тогда:

Задача №24. Наугад выбирают 6 клеток из 49 (спортлото). Найти вероятность того, что будет правильно угадано 3 клетки (событие А), 6 клеток (событие В).

Решение.

Раздел 3. Алгебра событий

Исходя из определения суммы и произведения событий, совместных и несовместных событий, зависимых и независимых событий, основных теорем алгебры событий [1],[2] запишем основные формулы, связанные с ними.

Пусть рассматриваются события А и В, которые могут произойти в данном эксперименте с вероятностью Р(А) и Р(В) соответственно.

Если эти события несовместны, то имеет место формула:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В). (3.1)

Если события А и В совместные, то:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ). (3.2)

Если события А и В независимые, то:

, (3.3)

в противном случае

(3.4)

Здесь Р(В/А) и Р(А/В) – условные вероятности.

Задачи

Задача №25. Вероятность попадания стрелком в I-ю область мишени равна 0,45, во II-ю – 0,35, в III-ю – 0,15. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадёт в I-ю или во II-ю область мишени (рис.2).

Рис.2

Решение. Пусть:

А1 ={попадание в I-ю область},

А2 ={попадание во II-ю область}.

События А1 и А2 несовместны при одном выстреле. Поэтому

Задача №26. Из 10 тыс. лотерейных билетов:

10 – по 200 грн., 100 – по 100 грн.,

500 – по 25 грн., 1000 – по 5 грн. выигрыша.

Найти вероятность того, что купленный билет будет содержать выигрыш не менее 25 грн.

Решение. Пусть события:

А = {выигрыш в случайно купленном билете не менее 25 грн.};

А1 ={выигрыш составил 25 грн.};

А2 ={выигрыш составил 100 грн.};

А3 ={выигрыш составил 200 грн.};

Тогда вероятность выигрыша 25 грн.

.

Аналогично,

Очевидно, что событие А представляет собой сумму событий А1, А2, А3, несовместных между собой, поэтому:

Р(А) = Р(А1) + Р(А2) + Р(А3) = 0,061.

Задача №27. В первом ящике 2 белых и 10 чёрных шаров. Во втором ящике 8 белых и 4 чёрных шара. Из каждого вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. Пусть:

А={белый шар из 1го ящика};

В={белый шар из 2го ящика}.

Тогда:

События A и В независимы

.

Задача №28. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания для 1-го стрелка (событие А) равна 0,75, для 2-го (событие В) – 0,8, для 3-го (событие С) – 0,9. Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель (событие D).

Решение. События A, B, C – независимы

Задача №29. В условиях задачи №28 найти вероятность того, что в цель попадёт хотя бы один стрелок (событие R).

Решение. Найдём вероятность того, что в цель не попадёт ни один стрелок (событие).

Т.к. - событие, противоположенное событию R, оно равно

Задача №30. Найти вероятность попадания стрелком в цель при одном выстреле (событие В), если вероятность события

А={хотя бы одно попадание в цель при 4-х выстрелах}=0,9984

Решение

=0,9984,

= {ни одного попадания в цель при 4-х выстрелах}

Вероятность непопадания при одном выстреле равна:

Окончательно получаем:

=

Задача №31. Студент обходит 3 библиотеки. Вероятность того, что книга есть в каждой из 3-х библиотек равна р1, вероятность того, что имеющаяся книга не выдана, равна р2. Какова вероятность того, что студент достанет книгу хотя бы в одной из библиотек.

Решение.

А1 = {достанет книгу в 1-ой библиотеке};

А2 = {достанет книгу во 2-ой библиотеке};

А3 = {достанет книгу в 3-й библиотеке};

В1 = {книга есть};

В2 = {книга не выдана};

= {не достанет ни в одной библиотеке}.

– вероятность того, что студент достанет книгу хотя бы в одной библиотеке.

Задача №32. Охотник выстрелил 3 раза по удалённой цели. Вероятность попадания в цель в начале стрельбы равна 0,8. Вероятность попадания в цель после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятность попадания в цель 2 раза (событие D).

Решение. Пусть

A= {попадание в цель при 1-ом выстреле};

B= {попадание в цель при 2-ом выстреле};

C={попадание в цель при 3-ем выстреле}.

Тогда

P {A} = 0,8; P {B} = 0,7; P {С} = 0,6.

.

Задача №33. Вероятность того, что первый из 3-х человек придет, равна 0,8. Вероятность того, что второй придет, равна 0,4. Вероятность того, что придёт третий, равна 0,7. Найти вероятность того, что встреча состоится, если для этого нужно, чтобы пришли хотя бы двое из трёх.

Решение. Пусть

A={придёт первый};

B={придёт второй};

C={придёт третий};

D={придут хотя бы двое из трёх}.

Тогда:

Ответ: 0,488.

Задача №34. В зависимости от наличия сырья предприятие может отправить заказчикам в сутки определённое количество продукции от 1 до 100 ед. Найти вероятность того, что полученное количество продукции можно распределить без остатка:

a) 3-м заказчикам (событие А);

 Скачать реферат