Структурные особенности учебного материала в школьном курсе тригонометрии
и) главным в изучении математики является понимание, а не навыки.
2 ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОСИНУСА, СИНУСА И ТАНГЕНСА ОСТРОГО УГЛА
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Угол, меньший 90º, называется острым углом.
Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.
Угол, равный 90º, называется
прямым углом.
Так как сумма углов треугольника равна 180º, то у прямоугольного треугольника только один прямой угол. Два других угла прямоугольного треугольника острые. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна
180º - 90º= 90º.
Сторона прямоугольного треугольника, принадлежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.
Косинус угла обозначается так:
Косинус угла равен отношению катета АС, прилежащего к этому углу, к гипотенузе АВ, т.е.
Рис.1
Теорема 1.1
Косинус угла зависти только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника.
Это означает, что у двух прямоугольных треугольников с одним и тем же острым углом косинусы этого угла равны.
Доказательство.
Пусть АВС и А΄В΄С΄ – два прямоугольных треугольника с одним и тем же углом при вершинах А и А΄, равным (рис. 2).
Рис.2
Требуется доказать что
Построим треугольник , равный треугольнику , как показано на рисунке 2. Так как прямые и перпендикулярны прямой , то они параллельны.
Напоминание:
Определение. Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются.
Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
По теореме о пропорциональных отрезках имеем
Напоминание:
Теорема о пропорциональных отрезках. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
А так как по построению
, , то
Теорема доказана.
Синусом угла (обозначается ) называется отношение противолежащего катета к гипотенузе (рис.1).
Тангенсом угла (обозначается ) называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету (рис. 1).
Синус и тангенс угла так же, как и косинус, зависят только от величины угла.
Действительно, по теореме Пифагора
(рис.1)
Теорема Пифагора.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
По определению
Поставим значение
Так как зависит только от величины угла, то и зависит только от величины угла.
По определению
Разделим числитель и знаменатель на
Отсюда видно, что и тангенс зависит только от величины угла.
Из определения , и получаем следующие правила:
Катет, противолежащий углу , равен произведению гипотенузы на .
Катет, прилежащий к углу , равен произведению гипотенузы на .
Катет, противолежащий углу , равен произведению второго катета на .
Эти правила позволяют, зная одну из сторон прямоугольного треугольника и острый угол, находить две другие стороны, находить острые углы (рис.3).
Рис.3
а = с
b = c
a = b
2.1 Основные тригонометрические тождества
Одно тождество мы уже знаем:
.
Докажем следующие тождества
Доказательство. Возьмем любой прямоугольный треугольник с углом при вершине , равным (рис.4).
Другие рефераты на тему «Математика»:
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Анализ надёжности и резервирование технической системы
- Алгоритм решения Диофантовых уравнений
- Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
- Алгоритм муравья
- Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- Зарождение и создание теории действительного числа
- Вероятностные процессы и математическая статистика в автоматизированных системах