Структурные особенности учебного материала в школьном курсе тригонометрии

Рис.4

Очевидно, что при прибавлении к углу целого числа оборотов получается угол той же четверти. Например, угол в 430º является углом I четверти, так как 430º=360º+70º и 0º < 70º < 90º; угол в 920 является углом III четверти, т.к. 920º=360º2+200º и 180º < 200º < 270º.

Углы 0º, "images/referats/11760/image093.png">90º, 180º, 270º, 360º, … не относятся ни к какой четверти.

В курсе геометрии были определены синус, косинус и тангенс угла при 0º < < 180º. Теперь распространим эти определения на случай произвольного угла .

Пусть при повороте около точки О на угол начальный радиус ОА переходит в радиус ОВ (рис.5).

Рис.5

Синусом угла называется отношение ординаты точки В к длине радиуса.

Косинусом угла называется отношение абсциссы точки В к длине радиуса.

Тангенсом угла называется отношение ординаты точки В к ее абсциссе.

Котангенсом угла называется отношение абсциссы точки В к ее ординатам.

В курсе геометрии было показано, что значение синуса, косинуса и тангенса угла , где 0º < < 180º, зависят только от и не зависят от длины радиуса R. И в общем случае , , , а также зависят только от угла . Покажем, например, что не зависят от R.

Док-во

Пусть при повороте луча около точки на угол (рис.6) радиусы и займут положение и .

Рис.6

Обозначим координаты точки через и , а координаты точки через и . Опустим перпендикуляры из точек и на ось х. Прямоугольные треугольники и подобны. Отсюда

, т.е.

(Для того, чтобы вспомнить подобие фигур и признак подобия треугольников снова обратимся к учебнику геометрии А.В. Погорелова в 9 класс, стр. 174).

Т.к. точки и принадлежат одной и той же координатной четверти, то их ординаты и имеют одинаковые знаки. Поэтому

Заметим, что это равенство верно и в том случае, когда точки и попадают на одну из осей координат. Таким образом, для любого угла отношение не зависит от длины радиуса . Ч. т.д.

Выражения и определены при любом , так как для любого угла поворота можно найти соответствующие значения дробей и . Выражение имеет смысл при любом , кроме углов поворота 90º, 270º, 450º, … , т.к. для этих углов не имеет смысл дробь . Для выражения исключаются углы 0º, 180º, 360º, для которых не имеет смысла дробь .

 Скачать реферат