Структурные особенности учебного материала в школьном курсе тригонометрии

Пусть при повороте радиуса вокруг точки на угол получен радиус (рис.15).

Рис.15

По определению

,

где – абсцисса т. , – ее ордината, а – длина радиуса . Отсюда , .

Т.к. т. принадлежит окружности с центром в начале координат, радиус которой равен , то ее координаты удовлетворяют уравнению

– уравнение окружности.

Подставив в это уравнение вместо и выражения и , получим

Разделив обе части последнего равенства на , найдем что

(1)

Равенство (1) верно при любых значениях .

Выясним теперь, как связаны между собой тангенс, синус и косинус одного и того же угла.

По определению

. Т.к. , ,

.

Таким образом

(2)

Аналогично ,

т.е. (3)

Равенство (2) верно при всех значениях , при которых , а рав-во (3) верно при всех значениях , при которых .

С помощью формул (1) – (3) можно получить другие формулы, выражающие соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла.

Из равенств (2) и (3) получим

, т.е.

(4)

Равенство (4) показывает, как связаны между собой тангенс и котангенс угла . Оно верно при всех значениях , при которых и имеют смысл.

Заметим, что формулу (4) можно получить и непосредственно и определения тангенса и котангенса.

Выведем теперь формулы, выражающие соотношение между тангенсом и косинусом, а также между котангенсом и синусом одного и того же угла.

Разделив обе части рав-ва (1) на , получим

, т.е.

(5)

Если обе части рав-ва (1) разделить на , то будем иметь

, т.е.

(6)

Равенство (5) верно, когда , а рав-во (6), когда .

Равенства (1) – (2) являются тождествами. Их называют основными тригонометрическими тождествами.

5.2 Формулы приведения

В курсе геометрии [5, с. 102, 108-113] были определены синус, косинус и тангенс угла , доказаны формулы приведения при 0º<<180º. Теперь мы распространим эти определения на случай произвольного угла . Кроме того здесь появился еще и котангенс угла , который мы уже определили раньше (все рассмотренные нами свойства для ни чем не отличаются от ). Все формулы приведения сведем в две таблицы, поместив в первой из них формулы для углов и , а во второй для углов

и

(в формулах приведения мы перешли к радианной мере угла, но можно перейти и к градусной в случае необходимости).

 Скачать реферат