Структурные особенности учебного материала в школьном курсе тригонометрии

Рис.4

По теореме Пифагора

Разделим обе части равенства на . Получим

Но ,

Таким образом

Это равенство есть тождество. Оно верно для любого острого угла .

Чтобы получить второе тождество, разделим обе части полученного тождества .

Получим

, или .

Если обе части тождества разделить на , то мы получим третье тождество

Значение этих тождеств заключается в том, что они позволяют, зная одну из величин , или , найти две другие.

Задача. Вычислить значение и , если

Решение.

Так как , то .

.

Ответ: , .

2.2 Значения синуса, косинуса и тангенса некоторых углов

Теорема 1.2. Для любого острого угла

Доказательство.

Пусть прямоугольный треугольник с острым углом при вершине (рис.5).

Рис.5

Тогда острый угол при вершине равен 90º – . По определению

, , ,

Из второго и третьего равенств получаем

Из первого и четвертого равенств получаем

Теорема доказана.

Задача.

а) Найдем синус, косинус и тангенс угла 45º.

Решение

Для этого построим прямоугольный треугольник с острым углом 45º (рис.6).

Рис.6

Второй его острый угол тоже равен 45º, поэтому треугольник равнобедренный.

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.

Свойство углов равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Пусть катеты треугольника равны а. По тереме Пифагора гипотенуза будет а. Находим

;

;

.

б) Найдем синус, косинус и тангенс угла 30º.

Решение

Возьмем равносторонний треугольник (рис.7).

Рис.7 Рис.8, а

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.

Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника (рис.8, а).

Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенной из этой вершины к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника (рис.8,б, в).

Рис.8,б Рис.8,в

Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.

Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне (рис.9).

Рис.9

Проведем в нем медиану . Она будет биссектрисой и высотой (по свойству медианы равнобедренного треугольника). Поэтому треугольник прямоугольный с острым углом при вершине , равным 30º. Пусть – сторона равностороннего треугольника, тогда . По теореме Пифагора

.

Значит

;

;

.

Так как , то

;

;

 Скачать реферат