Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел

Следствие 1.4. Два различных отрезка вполне упорядоченного множества не могут быть изоморфны между собою.

Доказательство.

Пусть Ах и Ау – два различных отрезка вполне упорядоченного множества А. Так как Ах и Ау различны, а множество А – вполне упорядочено, то х и у сравнимы, при этом ху. Пусть для определённости

x < y. Тогда Ах – отрезок множества Ау и по предложению 1.3 Ах и Ау не могут быть изоморфными. ■

Предложение 1.5. Существует не более одного изоморфизма одного вполне упорядоченного множества на другое.

Доказательство.

Будем доказывать методом от противного и предположим, что f и g – два различных изоморфизма вполне упорядоченного множества А на вполне упорядоченное множество В. Так как f и g различны, то существует аА: b = f (a) b’ = g (a). Пусть для определённости b < b’. При всяком изоморфизме f множества А на множество В отрезок Ах А переходит в отрезок Ву В, где у = f (х). Поэтому отрезок Аа А подобен отрезкам

Вb В и Вb’ B, т. е. Bb изоморфен Aa и Аа изоморфен Вb’. Следовательно, отрезок Вb изоморфен отрезку Bb’ , но это противоречит следствию 1.4. ■

Определение 2.2. Если для элемента а А существует элемент а’ =

= inf {x | a < x, x A}, то а’ называется непосредственно следующим за а.

Предложение 1.6. Если А – вполне упорядоченное множество, то у каждого элемента множества А, кроме наибольшего, имеется непосредственно следующий за ним элемент.

Доказательство.

Возьмём некоторый элемент аА, пусть а не является наибольшим элементом. Рассмотрим множество {x | x A, x > а}. По предложению 1.1 оно имеет наименьший элемент а’, который является точной нижней гранью рассматриваемого множества. Следовательно, а’ следует за а. ■

§2. КОНЕЧНЫЕ ЦЕПИ И ИХ ПОРЯДКОВЫЕ ТИПЫ.

Предложение 2.1. Множество из n элементов можно линейно упорядочить n! способами.

Доказательство.

Для доказательства достаточно применить формулу числа перестановок для n-элементного множества: Рn=n! ■

Предложение 2.2. Любое конечное линейно упорядоченное множество является вполне упорядоченным множеством.

Доказательство.

Пусть есть множество А – конечное линейно упорядоченное множество. Надо доказать, что А является вполне упорядоченным, то есть любое его подмножество имеет наименьший элемент. Рассмотрим произвольное множество В, являющееся подмножеством множества А. Предположим, что оно не имеет наименьшего элемента. Возьмём какой-нибудь элемент множества В. Обозначим его через b1. Так как в В нет наименьшего элемента, то в нём есть элемент b2, такой, что b2 < b1. Элемент b2 не является наименьшим элементом в В, поэтому имеется элемент b3<b2. Повторяя это рассуждение, строим для каждого натурального n элемент bn+1 B, причём bn+1 < bn.

Таким образом, получили бесконечное множество {b1, b2, . . . ,bn, . . }, но это противоречит тому, что В – подмножество конечного множества А и, следовательно, само является конечным. ■

Предложение 2.3. Любые две конечные цепи, состоящие из n элементов, изоморфны.

Доказательство.

пусть есть две конечные цепи из n элементов:

a1 < a2 <…< an,

b1 < b2 <…< bn.

Для каждого аi положим f (ai) = bi. Очевидно, что отображение f является изоморфизмом. ■

Замечание: бесконечные линейно упорядоченные множества одинаковой мощности могут и не быть изоморфными. Например, множество натуральных чисел и множество целых чисел с естественными порядками. Мощности этих множеств равны, но они не являются изоморфными, так как в N есть наименьший элемент, а в Z наименьшего элемента нет.

Определение 2.3. Порядковым типом линейно упорядоченного множества А называется класс всех линейно упорядоченных множеств, изоморфных множеству А.

Будем считать, что порядковый тип пустого множества есть 0.

Обозначим через n порядковый тип n – элементного множества

Nn = {0, 1, 2,…, n - 1} с порядком 0 < 1 < 2 <…< n-1.

§3.ПОРЯДКОВЫЙ ТИП .

Определение 2.4. Множество натуральных чисел с естественным порядком и все изоморфные ему линейно упорядоченные множества называются множествами порядкового типа .

Предложение 3.1. Бесконечное линейно упорядоченное множество А имеет порядковый тип тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям:

1) во множестве А имеется наименьший элемент a0;

2) для любого аА существует точная нижняя грань а’ во множестве {x | a < x, x A};

3) для любого подмножества Х множества А из того, что а0Х и Х

содержит вместе с каждым своим элементом непосредственно следующий за ним элемент, следует, что Х = А.

Доказательство.

Пусть линейно упорядоченное множество А удовлетворяет условиям 1)- 3). Докажем, что А имеет порядковый тип , то есть А изоморфно множеству N.

Из условия (1) следует существование во множестве А наименьшего элемента а0.

Рассмотрим отображение f: N A, заданное таким образом: f (0) = a0,

f (n + 1) = (f (n))’, где n = 0, 1, 2,… Существование (f (n))’ для каждого n обеспечивается условием (2). Тогда вследствие условия (3) f(N)=A. Таким образом, f инъективно и сюръективно, следовательно, взаимно однозначно. Докажем, что f сохраняет порядок: возьмём n, m N, пусть для определённости n < m . Из условия (2) следует, что f (n) < (f (n))’ f (m),

 Скачать реферат