Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел

Известно, что каждое некомпактное локально компактное хаусдорфово пространство Х обладает компактификацией Х с одноточечным наростом. Эта компактификация является наименьшим элементом семейства ζ(Х) всех компактификаций пространства Х по отношению к упорядочению >и называется одноточечной компактификацией (александровской компактификацией) ([3]). Отсюда следует, что пространство W(1){1} является александровской компактификацией пространства W(1).

Определение 2.14. Пусть Х. - произвольное тихоновское пространство. Наибольший элемент семейства ζ(Х) всех компактификаций пространства Х называется стоун-чеховской компактификацией (или стоун-чеховским расширением) пространства Х.

Предложение 5.12. Пространство W(1) имеет единственное компактное хаусдорфово расширение (а именно W(1){1}).

Доказательство.

Докажем, что W(1){1} является стоун-чеховской компактификацией пространства W(1). Известно, что если каждое непрерывное отображение тихоновского пространства Х в компактное хаусдорфово пространство можно непрерывно продолжить на некоторую компактификацию Х пространства Х, то Х является стоун-чеховской компактификацией пространства Х ([3]). Таким образом, достаточно доказать, что любая непрерывная функция, определённая на W(1), продолжается по непрерывности на W(1){1}.

Каждая непрерывная вещественная функция, определённая на W(1), финально постоянна, то есть для некоторого аW(1) и всех х, у > a имеем f (x) = f (y) (по предложению 5.10). Следовательно, если f продолжить на пространство W(1){1}, являющееся одноточечной компактификацией пространства W(1), положив (1) = f (х), где х >a, |W(1) = f , то мы получим непрерывную функцию на W(1){1}. Значит, W(1){1} – расширение Стоуна-Чеха пространства W(1). ■

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Чиркова Н. В. Выпускная квалификационная работа «Линейно упорядоченные пространства», научный руководитель Варанкина В. И., Киров, 2002.

2. Александров П. С. «Введение в теорию множеств и общую топологию». М.: Наука, 1977.

3. Энгелькинг Р. «Общая топология». М.: Мир, 1986.

4. Келли Дж. Л. «Общая топология». М.: Наука, 1981.

5. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин «Элементы теории функций и функционального анализа». М.: Наука, 1968.

6. И. А. Лавров, Л. Л. Максимова «Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов». М.: Физматлит, 1995.

7. Р. Столл «Множества. Логика. Аксиоматические теории». М.: Просвещение, 1968.

8. Ч. Коснёвски «Начальный курс алгебраической топологии». М.: Мир, 1983.

 Скачать реферат