Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел

Теорема 4.4. Пусть - какое-нибудь ординальное число. Тогда +1 есть ординальное число, непосредственно следующее за .

Доказательство.

Пусть А – какое-нибудь вполне упорядоченное множест

во типа . По определению сложения порядковых типов множество А’ типа +1 получим, если присоединим к А новый элемент а’, следующий за всеми элементами аА. Тогда A = A’a’, то есть < +1.

Всякое ординальное число ’< +1 является типом некоторого отрезка Аx’ множества A’. Но если х = а’, то Аx’ = A’a’ = A и ’ = ; если же x = a < a’, то Ax’ = Aa и ’ < . ■

Теорема 4.5. Пусть А и В – вполне упорядоченные множества. Пусть и - их порядковые типы. Если А В, то .

Доказательство.

Будем доказывать методом от противного и предположим, что < . Тогда множество В изоморфно отрезку своего подмножества А, а это противоречит предложению 1.3. ■

Теорема 4.6. Сумма любых ординальных чисел х(данных в любом порядке) есть ординальное число , не меньшее, чем любое из данных слагаемых х.

Доказательство.

Пусть дано некоторое ординальное число и каждому < поставлено в соответствие ординальное число х. Пусть - сумма по типу всех ординальных чисел х; обозначим её через =.

Если Х- какое-нибудь множество, упорядоченное по типу х, то сумма вполне упорядоченного (по типу W ()) множества множеств Хесть вполне упорядоченное множество Х, типом которого является . Так как множество Х содержит в качестве своего подмножества каждое измножеств Х, то на основании теоремы 4.5 для любого химеем х.■

Теорема 4.7. Для любого множества ординальных чисел можно построить ординальное число, большее любого из чисел этого множества.

Доказательство.

Пусть есть множество ординальных чисел Х. На основании теоремы 4.6 сумма всех элементов хмножества Х есть ординальное число, большее, чем любое из данных х. ■

§5. ПРОСТРАНСТВО ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ W (1 ) И ЕГО СВОЙСТВА.

Мощностью ординального числа называется мощность соответствующего ему вполне упорядоченного множества. Так, числа 1, 2, 3, … являются конечными ординальными числами, - счётное ординальное число, так как является порядковым типом множества N.

Обозначим 1 – первое несчётное ординальное число. Рассмотрим W(1) – множество всех ординальных чисел, меньших 1. По теореме 4.1 множество W(1) является вполне упорядоченным и имеет тип 1, то есть |W(1)| = 1 – первая несчётная мощность.

Определение 2.9. Ординальное число называется предельным, если оно не имеет предшествующего.

Предложение 5.1. 1 – предельное ординальное число.

Доказательство.

Если 1, то - счётно или конечно. Тогда таковым будет и число . Следовательно, 1. Таким образом, никакое число 1 не является предшествующим 1. ■

Предложение 5.2. Среди чисел множества W(1) бесконечно много предельных ординальных чисел.

Доказательство.

Пусть 1, тогда - конечно или счётно. Тогда - счётно, следовательно, 1, поэтому 1).■

 Скачать реферат