Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел
Обозначим через D множество W ()
W (
). Это множество является вполне упорядоченным. Обозначим его порядковый тип через
. Докажем неравен
ства ,
. Достаточно доказать одно из них. Докажем, например, первое. Имеем D
W (
). Если D = W (
), то
есть порядковый тип множества W (
), то есть
=
. Пусть D
W (
). Разбиение W (
) = D
(W(
)\D) есть сечение во вполне упорядоченном множестве W (
). В самом деле, пусть х
D, у
W (
)\D. Так как W (
) линейно упорядочено, то либо х < y, либо у < х. Покажем, что второй случай невозможен. Действительно, так как х
W (
), х
W (
), то одновременно х <
и х <
. Если бы было у < х, то было бы у <
, у <
, то есть у
D. Итак, доказано, что х < у для любых х
D, у
W (
)\D, а это и означает, что (D, W (
)\D) есть сечение в W (
). Пусть
<
есть первый элемент в W (
)\D. Тогда отрезок, отсекаемый в W (
) элементом
, совпадает с D, то есть
есть порядковый тип множества D,
=
и
<
.
Аналогично доказывается, что .
Однако, неравенства <
и
<
не могут быть выполнены одновременно, так как в этом случае мы имели бы
D, так что
было бы типом отрезка множества D и не могло бы быть типом всего D.
Таким образом, имеются лишь следующие возможности:
1) =
,
=
и, значит,
=
;
2) =
,
=
и, значит,
<
;
3) <
,
=
и, значит,
<
. ■
Теорема 4.3. Любое множество А, состоящее из ординальных чисел, вполне упорядочено.
Доказательство.
Линейная упорядоченность множества А следует из теоремы 4.2. Остаётся доказать, что любое непустое множество A’ А имеет наименьший элемент.
Возьмём какой-нибудь элемент а’ A’. Если а’ – наименьший из чисел
х А’, то всё доказано. Если же нет, то пересечение W (a’)
A’ непусто и, будучи подмножеством вполне упорядоченного множества W (a’), содержит первый элемент а. Ординальное число а и является наименьшим элементом в A’. ■
Определение 2.8. Пусть имеются два упорядоченных множества А и В, не имеющие общих элементов. Рассмотрим множество АВ, состоящее из всех элементов а
А и b
B. Превратим множество А
В в упорядоченное множество А+В, введя в него порядок таким образом: если а<a’ в A или b<b’ в В, то те же отношения сохраняются в А+В; если же а
А, b
В, то положим a<b в А+В. Упорядоченное таким образом множество А+В называется порядковой суммой упорядоченных множеств А и В. Если
и
есть порядковые типы множеств А и В, то порядковый тип множества А+В называется суммой
+
порядковых типов
и
.
Другие рефераты на тему «Математика»:
- Доказательство сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера
- Оптимизация организационных решений
- Канонический вид произвольных линейных преобразований
- Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений
- История возникновения и развития методов реконструкции математических моделей динамических систем по порождаемому временному ряду
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Анализ надёжности и резервирование технической системы
- Алгоритм решения Диофантовых уравнений
- Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
- Алгоритм муравья
- Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- Зарождение и создание теории действительного числа
- Вероятностные процессы и математическая статистика в автоматизированных системах