Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел

то есть f (n) < f (m). Следовательно, f сохраняет порядок.

Таким образом, f – взаимно однозначное отображение N A, сохраняющее порядок. Следовательно, множество А имеет порядковый тип .

Пусть есть бесконечное линейно упорядоченное множество А, имеющее порядковый тип . Множество N удовлетворяет условиям 1) – 3), а множество А изоморфно ему, поэтому и множество А удовлетворяет условиям 1) – 3). ■

Определение 2.5. Порядковым типом * называется класс линейно упорядоченных множеств, эквивалентных множеству N с двойственным порядком: 1 > 2 > 3 >…

Предложение 3.2. упорядоченное множество является вполне упорядоченным тогда и только тогда, когда оно не содержит подмножество типа *.

Доказательство.

Предположим, что вполне упорядоченное множество А содержит подмножество Х типа *. Тогда в Х нет наименьшего элемента, что противоречит вполне упорядоченности множества А. Следовательно, в А нет подмножеств типа *.

Пусть множество А не содержит подмножество типа *. Докажем, что А является вполне упорядоченным множеством. Предположим, что это не так, т. е. А содержит подмножество В, в котором нет наименьшего элемента. Возьмём какой-нибудь элемент множества В, обозначим его b1. Так как в В нет наименьшего элемента, то существует элемент b2, для которого b2 < b1. Повторяя это рассуждение, строим для каждого n N элемент bn+1 B, причём:

bn+1 < bn.

Получили множество {b1, b2, … , bn, . . .} которое является подмножеством множества А и имеет тип * - противоречие. ■

§4. СВОЙСТВА ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

Про изоморфные между собой линейно упорядоченные множества мы будем говорить, что они имеют один и тот же порядковый тип.

Со времён Кантора порядковые типы вполне упорядоченных множеств называются порядковыми или ординальными числами (ординалами). Порядковые типы бесконечных вполне упорядоченных множеств называются трансфинитными числами (трансфинитами).

Определение 2.6. Порядковое число меньше порядкового числа (), если какое-либо вполне упорядоченное множество типа изоморфно некоторому отрезку какого-нибудь вполне упорядоченного множества типа .

Пусть - некоторое ординальное число. Обозначим W() – множество всех ординальных чисел, меньших .

Теорема 4.1. Отношение < , установленное для ординальных чисел, превращает множество W() всех ординальных чисел, меньших данного ординального числа , во вполне упорядоченное множество типа .

Доказательство.

Из определения 2.6 следует, что множество W () находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех отрезков Ах произвольно выбранного множества А типа ; так как отрезки Ах взаимно однозначно соответствуют элементам х А, то имеем взаимно однозначное соответствие = f (х), х А, W() между множеством W() и множеством А типа . При этом соответствии из х < x’ в А следует, что Ах есть отрезок множества Ах’ , значит, = f (x) < = f (x’) в W (), и обратно. ■

Определение 2.7. Пара (А, В) непустых подмножеств линейно упорядоченного множества Х называется сечением множества Х, если:

1) А В = Х;

2) А В = Æ;

3) для любых х А и у В выполняется неравенство х < у.

Теорема 4.2. Для любых двух ординальных чисел и всегда осуществляется одно и только одно из трёх случаев: либо < , либо = , либо > .

Доказательство.

Пусть даны два ординальных числа и . Из определения 2.6 и предложения 1.4 следует, что и могут удовлетворять не более, чем одному из трёх отношений: = , < , > .

 Скачать реферат