Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел

Лемма 5.9. Из любых двух не пересекающихся замкнутых множеств в W(1) хотя бы одно ограничено.

Доказательство.

Будем доказывать методом от противного и предположим, что H и K – кофинальные замкнутые не пересекающиеся множества. Мы можем выбрать возрастающую последовательность (n), nN, где nH для n – нечётных, и nК для n – чётных. Так как множества Н и К замкнуты, то предельные точки им принадлежат, то есть = sup n, чего быть не может, поскольку множества Н и К не пересекаются. ■

Предложение 5.10. Любая функция fС (W(1)) постоянна на «хвосте» W(1)\W() (зависит от f ).

Доказательство.

Заметим, что любой «хвост» W(1)\W(), где W(1), счётно компактен, так как он является замкнутым подпространством счётно компактного пространства W(1) ([3]). Следовательно, каждое множество образов f [W(1)\W()] – это счётно компактное подмножество R (поскольку функция f непрерывна, а непрерывный образ счётно компактного множества счётно компактен ([3]) )и, следовательно, компактно, поэтому пересечение [W(1)\W()] центрированного семейства замкнутых множеств непусто. Выберем произвольное число r из этого пересечения. Докажем, что f -1(r) кофинально в W(1). Так как r[W(1)\W()], то rf [W(1)\W()] для любого W(1). Следовательно, f –1(r)W(1)\W() для любого .

Рассмотрим для каждого nN замкнутое множество Аn = {x W(1):

| f (x) – r | }. Оно не пересекается с f –1(r), а f –1(r) кофинально, поэтому по лемме 5.9 Аn имеет точную верхнюю грань в W(1). Обозначим n = sup An. Возьмём произвольное ординальное число >supn. Пусть W(1)\W(), тогда >. Предположим, что f ()r, тогда |f () - r|для некоторого n. Следовательно, Аn и n<, т. е. , но >- противоречие.

Таким образом, f () = r для любого W(1)\W(), >. ■

Определение 2.12. Пусть сХ – произвольная компактификация тихоновского пространства Х. Множество сХ\Х, то есть множество всех точек, которыми сХ отличается от Х, называется наростом компактификации сХ.

Определим упорядочение на семействе ζ(Х) всех компактификаций пространства Х.

Определение 2.13. Пусть с1Х и с2Х – компактификации пространства Х. Положим с2Хс1Х, если существует непрерывное отображение f: с1Хс2Х такое, что f (х) = х для всех хс1Х.

 Скачать реферат