Применение экономико-математических методов при строительстве дорог и трубопроводов

В 20-30-х годах 20 в. появились первые результаты, относящиеся к изучению свойств связности, планарности, симметрии графов, которые привели к формированию ряда новых направлений в теории графов.

Значительно расширились исследования по теории графов в конце 40-х - начале 50-х годов, прежде всего в силу развития кибернетики и вычислительной техники. Благодаря развитию вычислительной техники,

изучению сложных кибернетических систем, интерес к теории графов возрос, а проблематика теории графов существенным образом обогатилась. Кроме того, использование ЭВМ позволило решать возникающие на практике конкретные задачи, связанные с большим объемом вычислений, прежде не поддававшиеся решению. Для ряда экстремальных задач теории графов были разработаны методы их решения, например, один из таких методов позволяет решать задачи о построении максимального потока через сеть. Для отдельных классов графов (деревья, плоские графы и т. д.), которые изучались и ранее, было показано, что решения некоторых задач для графов из этих классов находятся проще, чем для произвольных графов (нахождение условий существования графов с заданными свойствами, установление изоморфизма графов и др.).

Характеризуя проблематику теории графов, можно отметить, что некоторые направления носят более комбинаторный характер, другие - более геометрический. К первым относятся, например, задачи о подсчете и перечислении графов с фиксированными свойствами, задачи о построении графов с заданными свойствами. Геометрический (топологический) характер носят многие циклы задач теории графов, например, графов обходы, графов укладки. Существуют направления, связанные с различными классификациями графов, например, по свойствам их разложения.

В теории графов существуют специфические методы решения экстремальных задач. Один из них основан на теореме о максимальном потоке и минимальном разрезе, утверждающей, что максимальный поток, который можно пропустить через сеть из вершины U в вершину V, равен минимальной пропускной способности разрезов, разделяющих вершины U и V. Были построены различные эффективные алгоритмы нахождения максимального потока.

Результаты и методы теории графов применяются при решении транспортных задач о перевозках, для нахождения оптимальных решений задачи о назначениях, для выделения «узких мест» при планировании и управлении разработок проектов, при составлении оптимальных маршрутов доставки грузов, а также при моделировании сложных технология, процессов, в построении различных дискретных устройств, в программировании и т. д.

Развитие теории графов в основном обязано большому числу всевозможных приложений. По-видимому, из всех математических объектов графы занимают одно из первых мест в качестве формальных моделей реальных систем.

Графы нашли применение практически во всех отраслях научных знаний: физике, биологии, химии, математике, истории, лингвистике, социальных науках, технике и т.п. Наибольшей популярностью теоретико-графовые модели используются при исследовании коммуникационных сетей, систем информатики, химических и генетических структур, электрических цепей и других систем сетевой структуры.

Далее перечислим некоторые типовые задачи теории графов и их приложения: [12]

- Задача о кратчайшей цепи

замена оборудования

составление расписания движения транспортных средств

размещение пунктов скорой помощи

размещение телефонных станций

- Задача о максимальном потоке

анализ пропускной способности коммуникационной сети

организация движения в динамической сети

оптимальный подбор интенсивностей выполнения работ

синтез двухполюсной сети с заданной структурной надежностью

задача о распределении работ

- Задача об упаковках и покрытиях

оптимизация структуры ПЗУ

размещение диспетчерских пунктов городской транспортной сети

- Раскраска в графах

распределение памяти в ЭВМ

проектирование сетей телевизионного вещания

- Связность графов и сетей

проектирование кратчайшей коммуникационной сети

синтез структурно-надежной сети циркуляционной связи

анализ надежности стохастических сетей связи

- Изоморфизм графов и сетей

структурный синтез линейных избирательных цепей

автоматизация контроля при проектировании БИС

- Изоморфное вхождение и пересечение графов

локализация неисправности с помощью алгоритмов поиска

покрытие схемы заданным набором типовых подсхем

- Автоморфизм графов

конструктивное перечисление структурных изомеров для

производных органических соединений

синтез тестов цифровых устройств

3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ

3.1 Основные определения и теоремы

1. Граф - Пара объектов G = ( X , Г ) ,где Х - конечное множество , а Г –конечное подмножество прямого произведения Х*Х . При этом Х называется множеством вершин , а Г - множеством дуг графа G .

2. Любое конечное множество точек (вершин), некоторые из которых попарно соединены стрелками , (в теории графов эти стрелки называются дугами), можно рассматривать как граф.

3. Если в множестве Г все пары упорядочены, то такой граф называют ориентированным.

4. Дуга- ребро ориентированного графа.

5. Граф называется вырожденным, если у него нет рёбер.

6. Вершина Х называется инцидентной ребру G , если ребро соединяет эту вершину с какой-либо другой вершиной.

7. Подграфом G(V1, E1) графа G(V, E) называется граф с множеством вершин V1 V и множеством ребер (дуг) E E, - такими, что каждое ребро (дуга) из E1 инцидентно (инцидентна) только вершинам из V1 . Иначе говоря, подграф содержит некоторые вершины исходного графа и некоторые рёбра (только те, оба конца которых входят в подграф).

8. Подграфом, порождённым множеством вершин U называется подграф, множество вершин которого – U, содержащий те и только те рёбра, оба конца которых входят в U.

9. Подграф называется основным подграфом, если множество его вершин совпадает с множеством вершин самого графа.

10. Вершины называются смежными, если существует ребро, их соединяющее.

11. Два ребра G1 и G2 называются смежными, если существует вершина, инцидентная одновременно G1 и G2.

12. Каждый граф можно представить в пространстве множеством точек, соответствующих вершинам, которые соединены линиями, соответствующими ребрам (или дугам - в последнем случае направление обычно указывается стрелочками). - такое представление называется укладкой графа.

Доказано, что в 3-мерном пространстве любой граф можно представить в виде укладки таким образом, что линии, соответствующие ребрам (дугам) не будут пересекаться во внутренних точках. Для 2-мерного пространства это, вообще говоря, неверно. Допускающие представление в виде укладки в 2-мерном пространстве графы называют плоскими (планарным). Другими словами, планарным называется граф, который может быть изображен на плоскости так, что его рёбра не будут пересекаться.

13. Гранью графа, изображенного на некоторой поверхности, называется часть поверхности, ограниченная рёбрами графа.

 Скачать реферат