Методы математической статистики, использующиеся в педагогических экспериментах

Очередность числовых операций:

1) вычислить сумму числа наблюдений (в нашем примере она равна 125);

2) вычислить произведение каждой срединной варианты на ее частоту (например, 1*28 = 28);

3) вычислить сумму произведений срединных вариант на их частоты (в нашем примере она равна 697);

4) вычислить взвешенную среднюю арифметическую величину по формуле:

=41 src="images/referats/27331/image003.png">

Средняя арифметическая величина позволяет сравнивать и оценивать группы изучаемых явлений в целом. Однако для характеристики группы явлений только этой величины явно недостаточно, так как размер колебаний вариант, из которых она складывается, может быть различным. Поэтому в характеристику группы явлений необходимо ввести такой показатель, который давал бы представление о величине колебаний вариант около их средней величины.

Вычисление среднего квадратичного отклонения

Этот статистический параметр называется еще стандартным отклонением или просто стандартом. Условное обозначение его - s. Величина среднего квадратичного отклонения является показателем рассеивания (т. е. отклонений вариант, которые получены в исследовании, от их средней величины) и призвана дополнять характеристику группы явлений.

Вычисление этого показателя производится в следующем порядке (см. табл.):

1) вычисляется разность между каждой срединной вариантой и средней арифметической величиной (например, 1 - 5,6 = - 4,6); вычисленный таким образом показатель условно обозначается буквой «d»;

2) чтобы избежать числовых операций с положительными и отрицательными величинами, все полученные разности возводятся в квадрат (например, - 4,62 =21,16);

3) вычисляется произведение каждого квадрата разности на его частоту (например, 21,16*28 = 592,48);

4) вычисляется сумма всех полученных произведений квадратов разностей и их частот (в нашем примере она равняется 2270,72);

5) вычисляется среднее квадратичное отклонение по формуле:

При малом числе наблюдений среднее квадратическое отклонение рекомендуется вычислять по следующей формуле:

Как видно из приведенного примера, вычисление среднего квадратичного отклонения общепринятым методом не требует от исследователя большой математической подготовки, но оно связано с большой затратой времени на выполнение многочисленных вспомогательных вычислений. В настоящее время все большее распространение получает вычисление среднего квадратичного отклонения по размаху (под размахом понимается разность между наибольшим и наименьшим значениями измеряемой величины, т. е. величина колебания вариант).

На основе теории распределения размаха для статистических совокупностей (Н.А. Толоконцев, 1961; и др.) разработан способ определения среднего квадратичного отклонения по формуле:

где - наибольшее значение варианты;

- наименьшее значение варианты;

К - табличный коэффициент, соответствующий определенной величине размаха.

Коэффициент К определяется по таблице. «Коэффициентов К для вычисления среднего квадратичного отклонения по амплитуде вариационного ряда» (упрощенный вариант таблицы Л. Типпетта). В приводимой таблице значения К вычислены для числа вариант от 2 до 1000. Порядок вычисления:

1) определить Vмакс (предположим, в нашем примере оно будет равняться 21,5);

2) определить Vмин (предположим, в нашем примере оно будет равняться 0);

3) определить число произведенных измерений, т. е. число вариант (в нашем примере оно равняется 125);

4) по таблице найти коэффициент К, который соответствует числу вариант, равному 125; для этого: в левом крайнем столбце под индексом п находим число 120, а в верхней строке - цифру 5; на пересечении строк - 5,17;

5) подставить полученные значения в формулу и произвести необходимые арифметические вычисления:

Полученная данным методом величина среднего квадратичного отклонения лишь на 0,1 отличается от среднего квадратичного отклонения, полученного общепринятым методом (±4,26). Это различие не имеет существенного значения для характеристики педагогических явлений. Математическими исследованиями установлено (Н.А. Толоконцев, 1961), что при обоих методах расчета имеются вполне удовлетворительные совпадения величин. Кроме того, вычислять среднее квадратическое отклонение по размаху выгодно при малом числе измерений: при числе вариант не более 20 (а это, как известно, имеет большое значение для сравнительных педагогических экспериментов, в которых, как правило, участвует ограниченное количество исследуемых).

Величина среднего квадратичного отклонения зависит от величины колебаний вариант: чем больше амплитуда различий между крайними значениями вариант, т. е. чем больше изменчивость признака, тем больше величина среднего квадратичного отклонения.

Закон нормального распределения говорит, что подавляющее большинство значений в однородной группе вариант встречается в интервале, расположенном около средней арифметической величины. Чем больше отличается каждая отдельная варианта от средней арифметической величины, тем она реже встречается. Варианты меньшие, чем средняя арифметическая величина, встречаются с той же частотой, что и варианты большие, чем средняя арифметическая величина. При нормальном распределении варианты расположены в определенных границах. Например, в границах М±s расположено 99,7% всех вариант признака.

Коэффициент К для вычисления среднего квадратичного отклонения по амплитуде вариационного ряда