Мысленный эксперимент в структуре геометрического доказательства

Начальный этап, связанный с введением особых (семиотических) объектов (таких как зерно, гряда), которые заменяют разрушающийся элемент производственной деятельности, и операций, осуществляемых с ними, превращением семиотических объектов в знаковые образования (число, рисунки полей с числами). «Иногда затруднения в производстве требуют построения специфических знаковых средств».

Второй этап,

характеризующийся тем, что на основе знаковых средств, обслуживающих производственную деятельность, складывается мыслительная деятельность, лежащая целиком в знаковой плоскости и связанная, в частности, «…с построения в знаковой плоскости одних мыслительных процедур с одними объектами на основе других процедур с другими объектами». Например, таким образом, строились алгоритмы вычислений трапециидальных и треугольных полей на основе алгоритмов вычислений прямоугольных полей.

Следующая стадия идеализации связанна с историческим процессом трансляции знания, отделенного от производственной деятельности, в другую культуру (Др. Греции). Но такой процесс имеет более широкий деятельностный разворот.

«Переход от египетской «пред-геометрии» к античной…содержит включение «знаниевых» структур геометрической практики в качестве материала . в иной класс задач, имеющих не практическое, а скорее, религиозное и эпистемологическое происхождение, связанное с формами духовности, характерными для античного сознания». Исследование такого перехода делает возможным моделирование структуры геометрического объекта.

Ермаков С.В. в статье «Генезис структуры математического доказательства», ссылаясь на результаты анализа структуры полиса, проделанный античными авторами и современными исследователями истории математики, указал на то, что его первоочередным содержанием было «…собирание жизни сообщества в смысловое целое, в котором всякое отдельное действие, событие… не существуют сами по себе, но опосредованы включением в это целое, наделяющие их смыслом».

Любое такое действие выстраивается и сорганизовывается из соображений «уместности» и «полноты», что позволяет говорить о принципиальной открытости греческого духа новому содержанию.

Таким содержанием для грека, является текст, содержащий информацию и работающий в практической ситуации, скрытой от постороннего. Применительно к геометрии такой текст – прежде всего чертеж, являющийся для египетского землемера скорее вспомогательным средством, удачно имитирующим производимые действия на земле и позволяющим сэкономить некие ресурсы.

Но для грека именно изображение на чертеже есть то, с чем он сталкивается и видит, что действия землемера над этим изображением приводят к успешному практическому завершению. В определенном смысле происходит «переворачивание» ситуации: «…поскольку он [грек] считает источником успеха объект, изображенный на чертеже».

Такая переинтерпретация позволяет удерживать связь между пространственной формой на чертеже и пространственной формой на земле. Позволяет выстроить иную («…где нет ничего, кроме безразличного геометрии материала» ) ситуацию, в которой эта пространственная форма «…принадлежит действительности геометрического действия…отделенной от изображающего ее чертежа и понятой как самостоятельный объект». А это уже, по сути, является представлением о том, что геометрическая форма есть идеальная форма реальных объектов.

Понимая геометрический объект как изображение чего-то реального, древним грекам остается понять это реальное как исчерпывающую возможность «…быть изображенным в определенной связи с другими изображениями».

Чертеж становится изображением пространственной структуры безотносительно к тому, структурой какой реальной вещи, изображенной на чертеже, она является. Тем самым чертеж фактически изображает некоторую пустую форму, единственным качеством которой является внутренняя упорядоченность.

Всякий знак, всякое изображение на таком чертеже, есть изображение самого себя. Но, включаясь в определенный порядок, они выстраиваются на чертеже во всей своей собранности, проявляющейся в том целом, в котором они существуют в определенном месте геометрического пространства. И сам этот порядок приобретает содержание знака, позволяющего удерживать различные конфигурации как тождественные, находя в них сходные структуры.

«Тем самым порядок пространственного расположения приобретает статус чего-то отдельного, что логически не зависит ни от какой пространственной реализации, но делает все реализации зависящими от него …поскольку он выступает прообразом для их реализации, для видения и выстраивания…он выступает «чистой видностью», «эйдосом», «идеальным», но идеальным, понятым не натурально, а представленным как действующее начало, которое реализуется в разных материалах и лучшим материалом для которого, не добавляющим к «видности» ничего…является геометрическое представление».

Итак, геометрическая модель, построенная в псевдо-генетической логике и в системе деятельностного подхода, представляет собой структуру, состоящую из идеальной формы - эйдоса, его знакового воплощения – чертежного изображения фигуры и действия по изменению и проверке внутренней целостности, связности и соответствию идеальной составляющей с ее реальным воплощением в геометрическом объекте.

Роль мысленного эксперимента в структуре геометрического доказательства

«Мысленный эксперимент …совершается посредством специально сконструированных идеальных объектов, которые не существуют натурально». Поскольку мы определили геометрический объект, как идеальную сущность реальной составляющей вещи, то любое действие по изменению и преобразованию такого объекта можно было бы рассматривать как мысленный эксперимент. В этом смысле в геометрии: «…мысленный эксперимент …нельзя выделить, как отдельную деятельность…она является …переходом от представления математического объекта – эйдоса, идеи к формально-логической структуре математической теории».

Результаты такого мысленного эксперимента должны: «…приобрести теоретическое значение», выражаемое в теоремах геометрии, аксиоматическое построение которой требует их «жесткого» доказательства, согласно канонам дедуктивной логики.

Мысленный эксперимент присутствует в самом геометрическом объекте, он неотделим от него. Ведь понимание таких основных геометрических понятий, как «точка», «прямая» уже требует идеализации и абстрагирования, а последующее их «собирание» в геометрическую фигуру – мысленного конструирования. Дальнейшее оперирование такими мысленными конструкциями приводят к появлению различных фактов – геометрических теорем.

«В процессе открытия геометрических истин [теорем] несомненно использовались индукция и мысленный эксперимент…Возникновение собственно научной геометрии связанно с дедуктивной логикой, выступающей в форме анализа и синтеза, причем анализ применялся не только как метод доказательства, но и как метод открытия теорем».

Анализируя аксиоматическое построение «Начал», Черняк пишет о двойственной роли евклидовых аксиом: с одной стороны аксиомы предоставляют собой логические правила вывода, с другой – аксиомы являются общими правилами или законами геометрической конструкции. Они задают руководящие принципы (например, принцип равенства), без которых невозможно решать задачи на построение. «Отсюда …предположение, что геометрия в своей предаксиоматической, интуитивной стадии использовало то, что впоследствии было названо аксиомами, в качестве интуитивно ясных принципов конструкции».