Мысленный эксперимент в структуре геометрического доказательства

Мысленный эксперимент, оформившийся в XX веке в действенный метод получения новых теоретических знаний, до настоящего времени успешно применялся в естествознании. Классическим примером мысленного эксперимента является рассуждение Галилея при формулировании «принципа инерции» или рассуждение Больцмана, введшего понятие «демона Максвелла».

При этом мысленный эксперимент понимался как научны

й метод «сложных» естественных наук, наук с развитым теоретическим аппаратом, например, таких как физика. В отношении математики, мысленный эксперимент не рассматривался, что объяснимо высокой степенью абстракции и идеализованностью ее объектов.

Черняк В.С., анализируя систему «Начал» Евклида в работе «История. Логика. Наука», одним из первых выдвинул гипотезу о возможности выделения мысленных экспериментов в ее структуре геометрических рассуждений. Он предложил рассматривать «предложения «Начал» Евклида как мысленные эксперименты», «как результат некоторых конструктивных операций, посредством которых из элементарных абстрактных объектов - точки, прямой, окружности, плоскости – строятся более сложные конструктивные объекты».

И. Лакатос, в работе «Доказательство и опровержения» высказывает мысль о том, что суть любого доказательства в математике – это мысленный эксперимент, а формой, в которой осуществляется мысленный эксперимент, является доказательство: «Доказательство тогда доказывает, когда оно протекает как мысленный эксперимент».

Ольшевская Н.А., определив мысленный эксперимент как основной метод появления и развития научно-геометрических понятий, указывает: «Связь трансценденции с математической системой определений, теорем и дедуктивных доказательств, описывающих геометрические объекты, осуществляются посредством мысленного эксперимента».

Аронов А.М. и Минеев В.Г. использовали понятие мысленного эксперимента, показав возможность решения некоторых школьных математических задач с использованием процедуры мысленного эксперимента.

Нам представляется актуальным выделение мысленного эксперимента, как важного компонента структуры геометрического доказательства. Мы считаем, что мысленный эксперимент присутствует в структуре геометрических рассуждений и может быть специально использован при обучении на уроках геометрии.

В настоящий момент, в традиционных учебниках геометрии Погорелова А.В. и Атанасяна Л.С., большая часть теорем доказывается по принципу: известно то-то и то-то, отсюда следует это, а из этого вытекает необходимое нам утверждение. Очевидно, что при таком подходе: «ученику остается непонятным, откуда взялась идея доказательства». Доказательство: «при таком подходе не мотивировано, а это собственно и подтверждает понятие ученика о геометрии как о чём-то, что можно только выучить, но нельзя понять».

Это, конечно же, является негативным фактом, ведь геометрия – это не только наука о практическом измерении геометрических фигур и изучении их свойств, но и, по мнению Бычкова С.Н – особая предметная область, способствующая зарождению и становлению особого дедуктивного способа рассуждения.

Бычков В.С., анализируя статью Колмогорова А.Н. «Математика» , не соглашается с идеей автора о том, что практика общественных споров могла быть достаточным основанием для появления дедуктивного метода. Он считает, что: «подлинный источник идеи аксиоматического способа рассуждений находится в области, специфическое содержание которой способно породить из себя идеи аксиоматики такой наукой может быть только геометрия».

Именно связь дедуктивной логики и мысленного эксперимента способствует получению новых геометрических знаний (теорем) с последующим их формально-дедуктивным обоснованием. Это хорошо согласовывается с логикой построения основного (систематического) курса геометрии, где: «опираясь на простейшие дедуктивные обоснования и навыки работы с геометрическими объектами, сформированные в пропедевтическом курсе геометрии, как на истинные суждения, выводится более широкий набор геометрических знаний». Таким образом, мысленный эксперимент получает статус метода получения новых геометрических знаний.

Структуру мысленного эксперимента необходимо переложить на структуру доказательства школьных геометрических теорем. Данная работа представляет собой часть этого процесса – а именно «конструирование» доказательств таких теорем с использованием мысленного эксперимента.

Цель дипломной работы – «сконструировать» доказательства некоторых школьных геометрических теорем, используя структуру мысленного эксперимента.

Объект: формулировки некоторых школьных геометрических теорем.

Предмет: «конструирование» доказательств школьных геометрических теорем с использованием метода мысленного эксперимента.

Гипотеза: Школьные теоремы геометрии можно доказывать, используя понятие о мысленном эксперименте.

Такая постановка цели и гипотезы дипломной работы требует решения следующих задач:

Описать структуру мысленного эксперимента;

Обозначить особенность геометрического объекта как идеальной конструкции;

Обозначить роль мысленного эксперимента в геометрии.

Дипломная работа состоит из введения, трех глав и заключения.

В первой главе дипломной работы описывается структура мысленного эксперимента, обращаясь к работам Библера В.С и Давыдова В.В.

Во второй главе обозначается структура геометрического объекта с позиции представителей деятельностного подхода и роль мысленного эксперимента в геометрии.

В третьей главе приводятся «сконструированные» доказательства некоторых школьных геометрических теорем с использованием структуры мысленного эксперимента.

В заключении сделаны выводы о результатах проделанной работы.

В конце дипломной работы приводится список используемой литературы, содержащий 19 источников.

Мысленный эксперимент в концепции В.С. Библера

Анализ понятия мысленный эксперимент содержится в книге В.С. Библера «Мышление как творчество (Введение в логику мысленного диалога)», а также – в его статье «Творческое мышление как предмет логики (Проблемы и перспективы)».

Автор выступил против стандартного подхода к логическому мышлению как системе приёмов и операций, сводящему движение мысли к операционному алгоритму. Алгоритмы задают стандартные способы выполнения действий с помощью правил, а также – саму последовательность операций, точное выполнение которых гарантирует решение задач. В результате мышление протекает не как процесс познания, а – в форме операций. Логика, трактованная как операционалистика, есть автоматизированная формальная логика.

Автор обращает внимание на тот факт, что новая теория не выводится из старой, а также – из новых экспериментальных фактов. Новая теория всегда возникает в точке логического изобретения. Следовательно, сведение мысли к операционному алгоритму является неадекватным изображением процесса познания.

Изобретение новых понятий, идей, новых теорий, по Библеру, характерно только для творческого мышления. Автор считает, что развитие научно-теоретического, творческого мышления возможно лишь в деятельности людей. Библер пишет: «…одновременное бытие одного – познаваемого, изменяемого – предмета в двух формах (в форме объекта идеализации и в форме идеализованного предмета) и есть исходное определение мышления, которое коренится в самом «неделимом ядре» практической деятельности человека».